不规则四边形蝴蝶定理

发布网友发布时间：2023-04-02 19:52

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热心网友时间：2023-12-14 15:25

四边形蝴蝶定理:若四边形一条对角线平分另一对角线，比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD，过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P.R.Q.S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E.F到对角线交点G距离相等。

定理

若四边形一条对角线平分另一对角线，比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD，过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P.R.Q.S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E.F到对角线交点G距离相等。

如图：BG=CG,求证：EG=FG

连接CP，BS，BR，CQ

EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG/RG*QG/SG

=S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP/S△BCR*S△BCQ/S△BCS

EG*CF=FG*BE

∵EG+BE=CF+FG

∴EG=GF

热心网友时间：2023-12-14 15:26

四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分另一对角线（比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD），过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P、R、Q、S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E、F到对角线交点G距离相等。

若四边形一条对角线平分另一对角线（比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD），过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P、R、Q、S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E、F到对角线交点G距离相等。

证明过程中用到共边比例定理、共角比例定理。