解析几何之目~用点差法破解:2020年理数全国卷A题20
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发布时间:2023-02-13 07:50
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时间:2023-06-28 20:29
标签: 高中数学 高考真题 解析几何 数学思想与方法 点差法
已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为 的上顶点, . 为直线 上的动点, 与 的另一交点为 , 与 的另一交点为 .
(1) 求 的方程;
(2) 证明:直线 过定点。
【解答第1问】
先来解答基础性的第1问。
依题意可知: 三个点的坐标为: 代入题设条件可得:
的方程为:
【第2问分析】
解答高考数学题,有两条基本的路线(方向):其一,是向某些基本的模型(题型)靠拢;其二,是从基本的思想和方法出发进行分析。
本题我们采用路线二来解决,并用“自问自答”的方式来展示分析过程。
: 本题中有哪些对象?对象之间有何关联?
: 本题中,基本的对象有椭圆、直线、椭圆的弦。 是直线 上的动点;而 是椭圆上的定点。
: 如何证明一条直线过定点?
: 如果一个定点的坐标始终满足一个直线族(动直线的集合)的方程,则这个定点始终在这些变动的直线上;则直线过这个定点。
如果方程可以写成: ,则定点在 轴上,其坐标为 .
如果方程可以写成: ,则定点在 轴上,其坐标为 .
相对而言,多数人对第一种形式较为熟悉;而对第二种形式就生疏一些。命题人有时就在这点上作文章。
: 从几何角度分析,能够得出哪些结论?是否可以猜出定点的大致位置?
: 从对称性的角度考虑问题。 轴是椭圆 和直线 公共的对称轴。因此,对于直线 上的任一点 , 其关于 轴的对称点 也在这条直线上。
顺首这条思路往下走:假如我们把 换成 ,那么,直线 也就换成了 . 注意 和 是关于 轴对称的两条直线,它们的公共点必定在 轴上。
因此,本题中的定点一定在 轴上。这是一个重要的阶段性结论。可以帮助我们简化后面的计算。
: 从代数的角度分析,可以得出哪些结论?哪些量是已知的?哪些量是未知?哪些量是变化的?变化的量之间存在什么关联?
: 本题中,椭圆的方程已知(第1问的结论);点 是已知的定点; 是动点;
直线 是已知的定直线; 则是动直线。
注意: 这几个点都在椭圆上。所以,本题中可以找出多条椭圆的弦:
椭圆的弦是高中解析几何的重要研究对象。它具有以下性质:
: 椭圆的弦的性质:椭圆的弦的斜率与其中点的坐标存在一个简洁的联系。对于以原点为对称中心的椭圆,可以用公式表达如下: 或者:
上式中, 为弦 的中点; 代表原点。
这个性质,并不是定理,但是使用平方差法(又称点差法)可以迅速地推导得出,可以称为常用结论。在高考中,这个常用结论出现了多次。合理地猜想:这个性质对于解决眼前的问题也能发挥作用。
以上关系,对于本题中出现的众多的弦都是有效的。
由于 (也就是 ) 是椭圆的弦,根据弦的斜率就可以求出弦的中点。
同理,根据直线 的斜率,可以求出点 的坐标。
注意: 都是椭圆上的点,过这四点的弦有多条。这些弦的中点坐标存在联系。
是椭圆的长轴,其中点为原点 . 对于另外的几个中点可命名如下:记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 几个中点的坐标存在以下关系:
因此,如果有了 两点的坐标,就可以方便地求出点 的坐标。
如果算出点 的坐标,就可以求出直线 的斜率,并写出这条直线的点斜式方程。
如果求出直线 的方程,就可以算出所过定点的坐标,从而完成证明。
那么,直线 的斜率是多少呢?回答是:取决于动点 的坐标。这个坐标比较简单,只有一个变量,可以设为
借用函数及映射的符号,以上关系可以总结如下:
【解题计划】
理清以上关系之后,解答此题的路径(具体步骤)也就明确了:
1)引入参数 以表达动点 的坐标;
2)求直线 的斜率;
3)求中点 的坐标;
4)计算中点 的坐标;
5)计算直线 的斜率;
6)写出直线 的点斜式方程;
7)求出定点坐标;
【解答第2问】
因为椭圆 的方程为: ,若点 在该椭圆上,
则:
设点 坐标为: , 则直线 的斜率分别为:
1)当 , 则点 分别与点 重合,直线 与 轴重合。
2)当 :
两直线的方程为:
记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 则有:
代入直线方程可求出两个中点的坐标:
由于 中点为原点,而 中点分别为: , 所以:
同理可得:
方程为:
方程可化为: ;
综上所述,对 , 直线 一定经过定点 . 证明完毕。
【微操指南】
作为高考压轴题,除了考查大的思路,命题人还会安排一些小的关卡和障碍,考验考生的综合实力。
本题的特点在于:点 的坐标较为复杂,会令一部分人望而生畏,就此止步。
对这个关卡,可以用以下思路破解。
点斜式方程的标准形式如下:
在前面的分析中,我们从对称性角度已经得出结论:定点在 轴上,其坐标形式为
所以,我们采用点斜式方程的以下变形:
代入前面的计算结果可得:
以上推导过程有一定复杂度。顺利完成类似任务的关键在于:经过开头的分析,我们已经知道定点在 轴上,所以我们相信:看起来十分复杂的分母和复杂的分子一定可以约分,最后化简为一个简单的形式。
这种“方向感”需要在平时培养。假如缺乏方向感,一味地强调熟练,是难以完成任务的。
【提炼与提高】
2017年理科数学全国卷一题20也是“定点问题”,但两题的解法是有区别的。请注意比较。
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