特征值和特征向量的关系是什么?

发布网友发布时间：2022-04-23 16:35

共1个回答

热心网友时间：2022-05-01 17:15

特征值与特征向量之间关系：

1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。

3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。

4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3…的特征向量（1，2，3…中可以有相同的值）。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。

意义：

从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。

N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。

应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。