数学问题:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知O是为AC与BD的交点

发布网友 发布时间：2023-02-21 14:58

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热心网友 时间：2023-10-06 04:03

（1）
连接a1c1、b1d1，相交于点o1，连接ao
易证四边形aoc1o1为平行四边形
∴c1o∥ao1
∵ao1属于平面ab1d1，c1o不属于平面ab1d1
∴c1o∥平面ab1d1
（2）先证线面垂直再证明面面垂直
∵有正方体abcd-a1b1c1d1
∴aa⊥平面a1b1c1d1，bdd1b1为平行四边形
∴b1d1∥b粻弗纲煌蕺号告铜梗扩d
∵bd属于平面a1b1c1d1
∴aa1⊥b1d1
∵四边形abcd是正方形
∴ac⊥bd
∴b1d1⊥ac
∵ac∩aa1=a，aa1属于平面a1ac，ac属于平面a1ac
∴b1d1⊥平面a1ac
∵b1d1属于平面ab1d1
∴平面ab1d1⊥平面a1ac
（3）可由三棱柱abc-a1b1c1的体积减去两个三棱锥的体积求得
v1=v（abd-a1b1d1）=1/2
v2=v（b1-abo）=1/12
v3=v（a-a1b1d1）=1/6
∴vd1b1=v1-v2-v3=1/4
也可由两个三棱锥的体积之和求得，可以自己算算看
这道题我刚刚在作业时做到了......

热心网友 时间：2023-10-06 04:03

(1).连接CM，设MC中点为N，连接ON、B1N、C1N.
则AM‖ON，B1O为与AM所成角等于∠B1ON或其补角。
设正方体边长为1，则AM=√5，ON=AM/2=√5/2；
在△OBB1中，OB=√2,BB1=2,BB1⊥OB,故OB1=√6；
B1C1⊥C1N,B1C1=2,C1N=√13/2,故B1N=√29/2
(C1N的求法如下：在正方形DD1C1C中，过N作CD的平行线交CC1、DD1分别于E、F，则NE=1/2EF=1，EC=DF=1/2DM=1/2,C1E=3/2,C1E⊥NE,故C1N=√13/2）
再用余弦定理，
cos=(OB1^2+ON^2-B1N^2)/2OB1*ON=0
所以∠B1ON=90°
即直线B1O为与AM所成角为90°，B1O⊥AM.

(2)AB1=B1C,故△AB1C为等腰△，又B1O为中线，故B1O⊥AC
根据题(1),B1O⊥AM,
所以B1O⊥平面AMC.
作OH⊥AM于H，连接B1H，
则AM⊥OH且AM⊥B1O，故AM⊥平面B1OH
故∠B1HO即二面角B1-MA-C的平面角
在△B1HO中，B1O⊥OH,B1O=√6；
在△AMC中，AM=MC=√5，AC=2,AO=1/2AC=√2，
所以cos∠MAC=(AM^2+AC^2-MC^2)/2AM*AC=√10/5=cos∠OAH，
所以sin∠OAH=√15/5，
所以OH=AO*sin∠OAH=√30/5.
所以tan∠B1HO=B1O/OH=√5,
所以∠B1HO=arctan√5即二面角B1-MA-C的大小为arctan√5.

答案有些不同，我检查了一下，没发现自己的错误，应该是你给的答案错了！
因为我从另一个方向求得其值，仍是arctan√5 ，如下：
在△AB1M中，AB1=2√2，AM=√5，B1M=√[(D1M)^2+(B1D1)^2]=√[1+(2√2）^2]=3
所以cos∠B1MA=(B1M^2+AM^2-AB1^2)/2B1M*AM=1/√5
故sin∠B1MA=2/√5
因B1H⊥AM，所以B1H=B1M*sin∠B1MA=6/√5
在△B1HO中，B1O⊥OH，B1O=√6
所以sin∠B1HO=B1O/B1H=√30/6,
则cos∠B1HO=√6/6,所以tan∠B1HO=√5，∠B1HO=arctan√5
与前面的相符

热心网友 时间：2023-10-06 04:04

(1)先设这是个边长为1的正方体.在正方体ABCD-A1B1C1D1上再叠加一个一样的正方形，即正方体ABCD-A1B1C1D1与正方形A1B1C1D1-A2B2C2D2。把B1O平移至O点与M点重合，B1与A1C2与A2C1的交点P重合，连接AP，AP=AO^2+0P^2=根号(1/4+9/4)=2分之根号10,因为AM=B1O=MP=2分之根号5,AP=AM^2+MP^2=根号(5/4+5/4)=2分之根号10.根据勾股定理(A^2+B^2=C^2),因此证明AM垂直MP,又因为MP是B1O平移得到的,所以B1O与AM成90度.我只会这样想,能看懂吗?

(2)我不会做,晕

热心网友 时间：2023-10-06 04:04

1
连接MO,MC,MB1;
设正方体棱长为2a;则由空间线段的计算公式可得:
MO=√(OD^2 + MD^2)=√3a;
B1O=√(a^2 +a^2 +(2a)^2)=√6a;
MB1=√((2a)^2+ (2a)^2 +a^2)=3a;
则: MB1^2 +B1O^2 =MO^2
即 MB1⊥B1O.
而由基本几何知识可知,AB1=CB1→B1O⊥AC.
于是,B1O⊥平面AMC.
AM在平面AMC内,
∴B1O⊥AM.
即异面直线B1O为与AM所成角为90°.

2
O在AC上,AC在平面AMC内,则O∈平面AMC.
作B1N⊥AM于N;连接ON.
由B1O⊥平面AMC可知,∠B1NO即所求二面角的平面角.
由三垂线定理可知,MO⊥AC.则△AOM是直角三角形.

则由△AOM的面积法可以求得:
2S△AOM=AM×ON=AO×MO
而AM=√((2a)^2+ a^2)=√5a,
则ON=AO×MO/AM=[√(6/5)]a
则tan∠B1NO=B1O/ON=(√6a)/[√(6/5)]a
=√5.

则:二面角B1-MA-C的大小为arctan√5