奇偶函数的概念及题型解析
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发布时间：2022-04-23 18:05
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时间：2023-07-02 08:27
【课标要求】
1． 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2． 掌握函数奇偶性的方法；
3． 了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系。
【核心扫描】
1． 对函数奇偶性概念的理解（难点）； 2． 根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性。
自学导引
1． 函数奇偶性的概念
设函数f(x)的定义域为D，
（1）偶函数：对任意x∈D，都有 = ，则f(x)为偶函数。 （2）奇函数：对任意x∈D，都有 = ，则f(x)为奇函数。 想一想：若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)等于什么？ 2．奇、偶函数的图象
（1）偶函数的图象关于 对称， （2）奇函数的图象关于 对称。
想一想：奇函数、偶函数的图象有何特征？
方法点评
1． 正确理解函数奇偶性的概念
（1） 从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数。
（2） 函数奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数的单调性不同，从这个意
义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质。
（3） 函数f(x)=c（c是常数）是偶函数，当c=0时该函数既是奇函数又是偶函数。 提醒 判断函数的奇偶性，应先看其定义域是否关于原点对称哟！ 2． 用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法
函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。
（1） 要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的
定义域是否关于原点对称（因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件）然后再确定f(x)与f(x)的关系：①若f(x)=－f(x)，则此函数为奇函数；②若f(x)=f(x)，则此函数为偶函数；③若f(x)=－f(x)，追答同时f(x)=f(x)，则此函数既是奇函数又是偶函数。
（2） 在判断f(x)与f(x)的关系时，可以从f(x)开始化简，也可以去考虑
f(x)f(x)
当f(x)不等于0时也可考虑f(x)+f(x)或f(x)－f(x)是否为0，与1或-1的关系。
课堂讲练互动
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=
规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
（1） 定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义
域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±
f(x)是否等于0，从而确定奇偶性。 3xx3
2
； （2）f(x)=x1x1； （3）f(x)=
2x2xx1
2
。
（2） 图象法：；若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对
称，则函数为偶函数。
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=x1x1； （2）f(x)=1
；
2
x
（3）f(x)=
x1
x ； （4）f(x)=(x1)
1x1x
题型二 分段函数的奇偶性
x2x3
2
(x0),
【例2】已知函数f(x)=
2
0x2x3
(x0),试判断f(x)的奇偶性。
(x0),
规律方法 （1）分段函数的奇偶性应分段判断f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性。
（2）分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断。
x1
(x0)
【变式2】判断函数f(x)=
0x1
(x0)的奇偶性。
(x0)
【例3】设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当∈[0，5]时，函数
示，则使函数值y＜0的x取值集合为 。
32
【变式3】（1）若f(x)=axbx
y=f(x)的图象如图所
cx12b在（b－1，2b）上是偶函数，求a，b，c。
（2）若f(x)=
(x1)(xa)
x
为奇函数则a= 。
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时间：2023-07-02 08:27
