函数的单调性和奇偶性的解题方法(急需!)
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发布时间：2022-04-23 18:05
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热心网友
时间：2023-07-12 23:51
根据定*题：y=f(x)在其定义域内，当x1<x2时，若在某个区间f(x1)<f(x2)，则为单调递增；若在某个区间f(x1)>f(x2)，则为单调递减！
所以解题时，按如下过程：
1.先求定义域；
2.设x1<x2均属于定义域，然后计算f(x2)-f(x1)，最终结果化成几个含有如(x2-x1)等可以判别下负的因式的积；
3.然后根据x1、x2的取值范围分别讨论判断几个因式的积是>0还是<0，从而确定：f(x2)<f(x1)，单调减；还是：f(x2)>f(x1)，单调增！
4.综合结论！
严格按照上述步骤解题轻车熟路！
二、函数的奇偶性
定义：对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).这时我们称函数f(x)=x^2为偶函数；
对于函数f(x)=x的定义域R内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），这时我们称函数f(x)=x为奇函数。
解题：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论！
判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式：奇：f(x)+f(-x)=0 f(x)*f(-x)=-f^2(x) f(x)/f(-x)=-1
偶：f(x)-f(-x)=0 f(x)*f(-x)=f^2(x) f(x)/f(-x)=1
热心网友
时间：2023-07-12 23:52
尽量将f（-x）化成x的函数，得出f（-x）=f（x）就是偶函数，得出f（-x）=-f(x)就是奇函数
增减函数统一解题的方法是设定义域内 x1＜x2
然后代进去想办法求出来 f（x1）-f（x2） ＞0 或＜0
＞0是减函数，＜0是增函数
说白了就是会函数化简即可
不明白加Hi问我，明白采纳下，谢谢
热心网友
时间：2023-07-12 23:52
答案:(－3，0)∪(0，3)
4.解析:∵f(x)为R上的奇函数
∴f( )=－f(－ ),f( )=－f(－ ),f(1)=－f(－1),
又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.
∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
答案:f( )＜f( )＜f(1)
5.解:函数f(x)在(－∞,0)上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.
6.解:(1)a=1.
(2)f(x)= .(x∈R) f－-1(x)=log2 .(－1＜x＜1 .
(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,
∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .
7.解: ，
对x∈R恒成立,
∴m∈［ ,3］∪{ }.
8.解:(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，
当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,
由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .
关于具有单调性、奇偶性函数问题的解题方法（2）
4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,
∴f(0)=d=0 :f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞ 单调递增，故a>0.
又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案:(－∞,0)
5.证明:(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,. >1且 >0,
∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0
∴ >0,
于是f(x2)－f(x1)= + .>0
∴f(x)在(－1，+∞)上为递增函数.
(2)证法一:设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,
则 且由0＜ ＜1得0＜－ ＜1,
即 ＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.
证法二:设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,
则 ＜－2, ＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，
若x0＜－1,则 >0,. >0，
∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
6.证明:∵x≠0,∴f(x)= ,
设1＜x1＜x2＜+∞,则 .
∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.
(本题也可用求导方法解决)
7.证明:(1）不妨令x=x1－x2,
则f(－x)=f(x2－x1)= .
=－f(x1－x2)=－f(x).
∴f(x)是奇函数.
(2)要证f(x+4a)=f(x),可先
请采纳
热心网友
时间：2023-07-12 23:53
就是求f（-x）观察是否等于f（x）或-f（x）
若看不出来，可以尝试求和或作差（f（-x）+f（x）=0，就是奇函数，f（-x）-f（x）=0就是偶函数）
增减性
①是看是否为常见的函数
②观察是否可以拆成常见的函数，同增异减（复合函数，就是两个常见函数相乘）
③实在不行用定义（我知道你不会求导数）设在定义内x1<x2
f（x1）-f（x2）>0减函数
f（x1）-f（x2）<0增函数
热心网友
时间：2023-07-12 23:53
单调性就求导~
