方程与函数的区别?
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发布时间：2023-03-28 11:51
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时间：2023-10-27 02:04
其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达。二者关系可以通过例子来看：x^2+x-1=0相当于函数y=x^2+x-1函数值y=0，解方程问题就转化为函数的自变量x定义域中取什么值时y=0？有点像求反函数。自然x^2+x-1=1 变成x^2+x-1=y也未尝不可，解方程转化为函数的自变量x定义域中取那个值时y=1？实际上上了大学学了高等数学就知道都可以，数学是工具为人所用，怎么简单就怎么来。但是刚开始学习函数，函数是有自己的规律法则的。所以 x^2+x-1=1要把他转换成函数形式就要把1 移到左边即x^2+x-2=y，相当于规定都求y=0时的x，这个规定也是约定俗成的，数学中方程标准都是形式都是右边为零。方式应该是{(x,y)|曲线方程｝按照定义，方程是含有未知数的等式，函数是两个非空数集之间的一个映射。方程F(x, y) ＝0中的x和y都是未知数，关联法则F同时作用于x 和y，交换两个未知数的位置时它们之间的关联法则通常要改变，得到的新方程与原方程一般不是同解方程(除了一些特殊情况外，以下同)。而函数中需区分自变量和因变量，对应法则只作用于自变量；一个函数由定义域A、值域C和对应法则f确定，与定义域和值域中的元素用什么字母表示无关。因此y = f (x) (x�0�2A, y�0�2C)和x = f (y)(y�0�2A, x�0�2C)表示相同的函数，但它们通常不是同解的方程； y = f(x) (x�0�2A, y�0�2C)和x = f -1(y) (x�0�2A, y�0�2C)一般是不同的函数，但它们是同解的方程。例如y ＝ 2x (x为自变量) x ＝ 2y (y为自变量)是相同的函数、不同解的方程；而y ＝ 2x (x为自变量)与 x ＝ y (y为自变量)是不同的函数、同解的方程。由此可知，在方程F(x, y) = 0能够确定隐函数时，那么也应该确定两个函数关系y = f(x)和x = f -1(y)，而不应当仅仅是前者。例如方程2s- gt2 = 0( t �0�6 0 )①就可以确定函数s = f(t) = gt2 ( t �0�6 0 ) ②以及函数t =j(s) = ( s �0�6 0 ) ③，其中g > 0是一个常数。②与③显然是不同的函数，但作为方程它们都与①同解。函数与方程的这种差别自然也应该反映在作图上。作二元方程的图形时实际上是把未知数区分为第一未知数、第二未知数，用前者的值做横坐标、后者的值做纵坐标。例如作方程①的图形时既可以用t的值、也可以用s的值做横坐标，取决于把谁看作第一未知数。但是在作以x和y为未知数的方程的图形时，因为直角坐标系中的横轴和纵轴习惯上分别表示为X轴和Y轴(以下简称习惯1)，所以总是用x的值做横坐标、y的值做纵坐标以免混淆。这种作图方式事实上是默认下面的约定1 当方程中的未知数用x和y表示时就把x视为第一未知数。依照上述作图方式，同解的方程y ＝ 2x和 x ＝ y的图形相同，不同解的方程y ＝ 2x和 x ＝ 2y的图形也不同，这说明约定1是合理的。而对作函数的图象，中学和大学的数学教材(例如 [4，§2] 和 [5，§1.6] )中都提到了下面的 约定2 在平面直角坐标系中作函数的图象，横坐标对应自变量的值，纵坐标对应函数值。即作函数图象时，应该用自变量的值做横坐标、函数值做纵坐标，而不管它们分别用什么字母表示。例如在作函数②的图象时应该用t的值做横坐标，作函数③的图象时应该用s的值做横坐标。同理，在作函数x = f(y)的图象时应该用y的值做横坐标、x的值做纵坐标，而不应当依据约定1按照方程的作图方式作图。于是在同一个直角坐标系中，把y = f (x)和x = f (y)看作函数时它们的图象是相同的，看作方程时它们的图形一般是不同的；把y = f(x) 和x = f -1(y)看作函数时它们的图象一般是不同的，而看作方程时它们的图形是相同的。由此得出“在同一直角坐标系中，相同的函数的图象相同，不同的函数的图象也不同”这样一个顺理成章的结论，说明了约定2的合理性。虽然同样由于习惯1，在作函数x = f (y)的图象时为了避免混淆，常常对调其中的x和y把函数式改写为y = f (x)，但是可以这样做的理由正是因为y = f (x)与x = f (y)是相同的函数，而不是把它们看作方程。如果只注意到函数与方程的“同”而忽略了它们之间的“异”，在考察某些具体问题时就会出现失误。例如对于反函数表达式中需要交换x和y的原因，一般都是用“习惯上，我们一般用 x 表示自变量，y 表示函数”(以下简称习惯2)来说明。某种习惯值得遵循应当有其合理性以及必要性。对为什么有必要遵循这个习惯，存在不同看法。一种影响较大的观点是：由于在同一直角坐标系中， y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 因此“把反函数x = f -1(y)改写成 y = f -1(x) 还有一个好处，即它们的图象关于直线y = x对称”([1]，p.38)。这种观点也经常反映在一些习题中，例如：(1) 若函数 y = f (x) 有反函数, 则在同一坐标系中, y = f (x) 和 x = f -1(y)的图象A. 关于直线y = x对称B. 关于y轴对称C. 表示同一曲线D. 关于原点对称(2) 若函数 y = f (x) 存在反函数, 则下列命题中不正确的是A． 函数y = f (x) 与函数 x = f (y)的图象关于直线y = x对称B. 若y = f (x) 是奇函数, 则 y = f -1(x) 也是奇函数C. 若y = f (x) 在其定义域 [a, b] 上是增函数, 则 y = f -1(x) 在 [a, b] 上也是增函数D. 函数y = f (x) 和 x = f -1(y)的图象重合[6]中给出(1)的答案是C，[7]中给出的(2)答案也是C。笔者认为上述观点的缺陷在于忽略了函数与方程的差别，从而在讨论同一问题时先后使用了不同的标准。即在考察原函数与反函数的图象时先把函数看作方程，得出它们的图象相同的结论；而在改写反函数时又需要把它们看作函数，所以才可以改写。这样将会导致逻辑推理的冲突。事实上，因为函数x = f -1(y)和y = f -1(x)表示相同的函数关系，所以允许交换其中的x和y，这是可以遵循习惯2改写反函数的理论依据。而认为两个不同的函数y = f(x)和x = f -1(y)的图象相同, 两个相同的函数y = f (x)与 x = f (y)的图象不相同，是把它们等同于方程了；但是如果看作方程，那么x = f -1(y)与 y = f -1(x)一般情况下是不同解的，又怎么能用后者去代替前者呢？此外，根据定义，函数y = f(x)的反函数是x = f -1(y)，如果要改写反函数后“原函数的图象与反函数的图象关于直线 y = x 对称”才能成立，那么这个结论是否显得牵强(因为原本是不成立的)？由此自然会对改写反函数的必要性产生疑问，一种看法甚至认为是迁就了“不良的习惯”(例如[2]，第26页)。在一些较早的教科书中把函数的解析式就称为方程，对函数和方程的图形不加区别。例如对我国50年代数学教育产生过一定影响的[3]在讨论反函数的图象时，先指出方程y = f(x)和x = f -1(y)所给出的x与y之间的关系是相同的(实际上应当是把y = f(x)和x = f -1(y)都看作方程F(x, y)＝0时x与y之间的关联关系F相同，而不是作为函数时的对应关系f和f –1)，所以它们的图象相同。然后说明此时(即按照方程的作图方法)需把 x = f -1(y)中的自变量y取在Y轴上很不方便，因此需要旋转整个平面使表示自变量的轴和表示函数的轴互换位置(事实上已经认可了约定2)，于是反函数x = f -1(y)就变成y = f -1(x)了。这样得出y = f -1(x)略显麻烦，而且旋转时坐标轴的方向及名称是否改变？所以后来编写的大部分教科书中的说法与此有所不同。 [4，§2]中把约定1作为改写反函数的原因，说明了改写的必要性。但是在此之前的陈述“从图形上看，曲线y = f(x)和x = f -1(y)是同一条曲线”仍然是先看成方程。[5，§1.8]中指出x = f -1(y)和y = f -1(x)表示同一个函数，说明了改写的合理性，而对其必要性则与中学课本一致，用前面提到的“习惯上”解释。其实只要以前面的两个约定为依据，对该问题容易作出简明合理的解释，即：把y = f(x) 和x = f -1(y) 看作方程时它们的图形是相同的，但是这里考虑的对象是函数，在作反函数x = f -1(y) 的图象时应该按照约定2以y 的值作横坐标、x 的值作纵坐标，这样画出的图形与原函数 y = f(x) 的图象关于直线 y = x 对称(因此“原函数的图象与反函数的图象关于直线 y = x 对称”本来就是成立的，并不依赖于改写反函数表达式)。 只是在横轴和纵轴已经分别表示为X轴、Y轴的情况下这样作图容易产生混淆，所以交换一下反函数中x和y的位置，既没有改变反函数的实质，又避免了作图时的不便，笔者认为这才是有必要改写反函数表达式的主要原因。按照前面的讨论，习题(1)的正确答案应该是A, 习题(2)中的命题A、C、D都是不正确的。由此可见，由于对函数与方程的关系的认识分歧造成了对一些具体问题的说法不统一，并且这些分歧已经反映到教学中，可能给学生造成认知上的困难和混乱。因此有必要统一认识，以便于对有关问题给出合理、一致的解释。笔者认为引入习惯1和习惯2等“习惯”的原意是将本质上相同的对象如方程、函数、图形等用一般形式加以抽象、概括，以便于研究和叙述其普遍规律。尽管遵循这些习惯可以带来一些方便并且已经被广泛采纳，但是由于变量或未知数经常用其它符号表示(例如在物理中)，并且自变量和因变量也可能相互转化(例如求反函数时)，因此在考察具体问题时不应过分受其束缚。若拘泥于上述习惯而忽略了对象或方法的实质性的差别(如约定1与约定2)，那就偏离了引入这些习惯的初衷。因此建议在教学中应当注意强调(最好在教科书中就明确指出)一般性方法，例如作二元方程的图形时用第一未知数的值做横坐标、第二未知数的值做纵坐标，作函数的图象时用自变量的值做横坐标、函数值做纵坐标等，并且在有关部分适当增加变量或未知数用其它字母表示的函数或方程的例、习题。这样可以让初学者通过比较认清方法的实质，有利于对一般规律的理解和掌握，避免形成错误的思维定势(例如x一定是自变量，y一定是因变量，作函数x = �0�7 -1(y)的图象时也必须用x值作横坐标等)。随着科学技术的进展，数学理论本身也在不断完善，如引进集合的概念，给出函数的现代定义等，从而对某些问题的看法也可能有必要更新。 椭圆
X=a cosx
y=b sinx
双曲线：
x = a*secθ
y = b*tgθ
抛物线：
x = 2p*t^2
y = 2p*t
椭圆可用三角函数来建立参数方程
椭圆：x^2/a^2 +y^2/b^2=1
椭圆上的点可以设为（a·cosθ，b·sinθ）
双曲线：x^2/a^2 - y^2/b^2=1
双曲线上的点可以设为（a·secθ，b·tanθ)
因为 （secθ）^2-(tanθ)^2=1
抛物线：y^2=2p·x
则抛物线上的点可设为 （2p·t^2，2p·t)
相应的，如果抛物线是：x^2=2p·y 则抛物线上的点可设为 （2p·t，2p·t^2) 圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.
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时间：2023-10-27 02:04
1. 方程：
方程是一个数学表达式，其中包含等号，用于表达两个量相等的关系。方程通常包含一个或多个变量，并且可以通过解方程来确定变量的值。例如，2x + 3 = 7 是一个方程，其中 x 是一个变量，通过解方程可以计算出 x 的值为 2。
2. 函数：
函数是一个数学对象，它描述了一种输入与输出之间的关系。函数通常用符号表示，并且每个输入值都有一个唯一的输出值与之对应。函数可以表示为 f(x) = y 的形式，其中 x 是输入值，f 是函数，y 是函数对应的输出值。函数可以在数学上定义，也可以用图形、表格或公式来表示。例如，f(x) = 2x + 3 是一个函数，它表示输入值 x 经过乘以 2 再加上 3，得到对应的输出值。
总结来说，方程用于描述相等关系，而函数用于描述输入与输出之间的关系。方程可以看作是特殊的函数，其中等号表示函数的输出值等于特定的常量或表达式。函数可以表示各种各样的关系，而方程则是其中一种特定的关系。
