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插板法怎么理解?

发布网友 发布时间:2023-03-28 18:09

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热心网友 时间:2023-10-05 02:38

插板法公式理解思路为:将 n 个相同的元素排成一行, n 个元素之间出现了( n-1 )个空档,现在我们用( m-1 )个 “档板 ”插入( n-1 )个空档中,就把 n 个元素隔成有序的 m 份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….)。

这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法,这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。

例题:共有 10 完全相同的球分到 7 个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法。

解析:我们可以将 10 个相同的球排成一行, 10 个球之间出现了 9 个空隙,现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中,就 “把 10 个球隔成有序的 7 份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球,这样,借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。



插板法基本题型的变形

(1)变形1:有 n 个相同的元素,要求分到 m 组中,问有多少种不同的分法。

解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上 1 个,这样所要元素总数就 m 个,问题也就是转变成将( n+m )个元素分到 m 组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。

例题:有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里,共有( )种不同方法 。

解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加 1 个,则球的总数为 8+3 ×1=11,此题就有 C(10 ,2) =45(种)分法了。

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