有三角函数的三分之一角公式吗8
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发布时间：2023-10-16 01:11
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时间：2024-12-04 22:00
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时间：2024-12-04 22:03
-sin(3x)=4sin³(x)-3sin(x)
4sin³(x)-3sin(x)+sin(3x)=0
sin³(x)-¾sin(x)+¼sin(3x)=0
对于这个，不含二次项的关于sin(x)的一元三次方程，可以利用卡丹公式法求解：
[sin(x)]₁=[³√((-1/8)sin(3x)+√((1/64(sin²(3x))-1/64))]+[³√(-(1/8)sin(3x)-√((1/64(sin²(3x))-1/64))]
[sin(x)]₂=((-1-(√3)i)/2)[³√(-(1/8)sin(3x)+√((1/64(sin²(3x))-1/64))]+((-1+(√3)i)/2)[³√(-(1/8)sin(3x)-√((1/64(sin²(3x))-1/64))]
[sin(x)]₃=((-1+(√3)i)/2)[³√(-(1/8)sin(3x)+√((1/64(sin²(3x))-1/64))]+((-1-(√3)i)/2)[³√(-(1/8)sin(3x)-√((1/64(sin²(3x))-1/64))]
化简得
[sin(x)]₁=-(1/2){[³√(sin(3x)-icos(3x))]+[³√(sin(3x)+icos(3x))]}
[sin(x)]₂=-(1/2)((-1-(√3)i)/2){[³√(sin(3x)-icos(3x))]+((-1-(√3)i)/2)[³√(sin(3x)+icos(3x))]}
[sin(x)]₃=-(1/2)((-1-(√3)i)/2){((-1-(√3)i)/2)[³√(sin(3x)-icos(3x))]+[³√(sin(3x)+icos(3x))]}
我们不知道哪个是对的，所以我们可以将三个式子依次进行深入的化简.
先说[sin(x)]₁
[sin(x)]₁=-(1/2){[³√(sin(3x)-icos(3x))]+[³√(sin(3x)+icos(3x))]}
=-(1/2){[³√((isin(3x)+cos(3x))/i)]+[³√((isin(3x)-cos(3x))/i)]}
=-(1/2){[³√((isin(3x)+cos(3x))*(-i)]+[³√((isin(3x)-cos(3x))*(-i)]}
=-(1/2){[³√((isin(3x)+cos(3x))*(-i)]+[³√((-isin(-3x)-cos(-3x))*(-i)]}
=-(1/2){[³√((isin(3x)+cos(3x))*(-i)]+[³√(-(isin(-3x)+cos(-3x))*(-i)]}
=-(1/2){[³√((isin(3x)+cos(3x))*(-i)]+[³√((isin(-3x)+cos(-3x))*i]}
=-(1/2){[³√(e^(3ix)*(-i))]+[³√(e^(-3ix)*i)]}
=-(1/2){(e^(ix))*i+(e^(-ix))*(-i)}
=-(1/2){(e^(ix))*i-(e^(-ix))*i}
=(1/2){(e^(ix))*(-i)-(e^(-ix))*(-i)}
=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
=sin(x)
哈哈！对！但是没有用......
算到这，可能已经疯了（至少是我），但还没算完
然后是[sin(x)]₂
[sin(x)]₂=-(1/2)((-1-(√3)i)/2){[³√(sin(3x)-icos(3x))]+((-1-(√3)i)/2)[³√(sin(3x)+icos(3x))]}
=-(1/2)((-1-(√3)i)/2){(e^(ix))*i+((1+(√3)i)/2)(e^(-ix))*i}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){(e^(ix))*i+((1+(√3)i)/2)(e^(-ix))*i}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){(e^(ix))*i+((i-(√3))/2)(e^(-ix))}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){(e^(ix))*i+(i/2)(e^(-ix)-((√3)/2)(e^(-ix))}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){(e^(ix))*i+(i/2)(e^(-ix)+(i/2)(e^(-ix)-(i/2)(e^(-ix)-((√3)/2)(e^(-ix))}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){(e^(ix))*i+i*(e^(-ix)-(i/2)(e^(-ix)-((√3)/2)(e^(-ix))}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){i*((e^(ix))+(e^(-ix))-(i/2)(e^(-ix)-((√3)/2)(e^(-ix))}
=(1/2)((1+(√3)i)/2){2i*cos(x)+((-i-√3)/2)(e^(-ix))}
=((i-√3)/2)*cos(x)-(i/2)(e^(-ix))
=(i/2)*cos(x)-((√3)/2)*cos(x)-(i/2)(e^[i*(-x)])
=(i/2)*cos(x)-((√3)/2)*cos(x)-(i/2)(cos(x)-i*sin(x))
=(i/2)*cos(x)-((√3)/2)*cos(x)-(i/2)*cos(x)-(1/2)*sin(x))
=-((√3)/2)*cos(x))-(1/2)*sin(x))
首先，这里面并不含有cos(3x)或sin(3x)的项，无法变成1/3角公式；
其次，它本身就是错的，因为我们单说0<x<π/2时，这里面x的余弦和正弦都是正的，可是公式里负的怎么能等于正的呢？这足以证明，这个式子是错的.
当我们再用第三个式子做时，我们会发现，3x的余弦正弦依然全部在三次根号下，一个有i，一个没有i，所以最后一定会化成n*(cos(3x)+isin(3x))的形式，这个式子，它等于n*e^(3ix)，
对于它开立方根，3就没了，3x正弦余弦全在这个式子里面，可是3没了，开出来也就自然没有3倍了，也就没什么意义了，前两个就是例子.
算完，你会发现，第三个也是错的。只有第一个是对的，可还没有用。
当然，也可以用复数的乘法意义做，模变为立方根，幅角变1/3，结果也都是一样的失败。
至少说，用解方程的方法做不出来。
还有，我记得高中方法能证明用尺规作图三等分角是不可能的，可能也能证明三角函数三分之一角公式是不可能的。没准压根没有这玩意。
我的回答就是为了不让大家重走我走过的路，自己愿意算一下也可以的，不过挺费事，费时，费力。
望采纳！
