如何求y=x+2^x的反函数？

发布网友发布时间：2023-10-16 01:24

共3个回答

热心网友时间：2024-12-03 04:37

因为y=x+2^x在定义域内单调递增、可导
且y'=1+ln2*2^x≠0
则可以运用反函数求导公式
设h(x)是原函数的反函数
则h'(x)=1/(1+ln2*2^x)
h(x)=∫dx/(1+ln2*2^x)
令1+ln2*2^x=t x=log(2,t-1)-log(2,ln2) dx=dt/(t-1)ln2 显然t>1
h(x)=1/ln2*∫dt/t(t-1)
=1/ln2*[∫dt/(t-1)-∫dt/t]
=[ln(t-1)-lnt]/ln2+C
=log(2,t-1)-log(2,t)+C
=log(2,ln2*2^x)-log(2,1+ln2*2^x)+C
=log(2,ln2)+x-log(2,1+ln2*2^x)+C
因为原函数y(0)=1，所以反函数h(1)=0
log(2,ln2)+1-log(2,1+ln4)+C=0
C=log(2,1+ln4)-log(2,ln2)-1
所以反函数h(x)=x-log(2,1+ln2*2^x)+log(2,1+ln4)-1

热心网友时间：2024-12-03 04:37

把后面配方，得：y=（x+1/2)^2-1/4
然后根号（y+1/4)=x+1/2
y=根号(x+1/4)-1/2
另外，题目有点问题，应当限定一下定义域。

热心网友时间：2024-12-03 04:38

化简的，1-y=（x+1）^2，因为x>0,所以x+1>0，所以√￣1-y=x+1，所以x=（√￣1-y）-1，即反函数为
y=（√￣1-x）-1（x<0），注意此时的x=原来的y