齐次线性方程组有无穷多解吗?

发布网友发布时间：2023-11-05 20:59

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热心网友时间：2024-11-02 10:58

齐次线性方程组可能有唯一解、无穷多解或无解。
如果齐次线性方程组的系数矩阵是方阵，且其行列式不等于零，则方程组有唯一解，即零解。
如果齐次线性方程组的系数矩阵不是方阵，或者系数矩阵是方阵但其行列式等于零，则方程组可能有无穷多解或无解。
因此，无法一概而论齐次线性方程组有无穷多解。需要具体情况具体分析。

热心网友时间：2024-11-02 10:59

非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解，有非零解，有无穷多解。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

齐次线性方程组

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

当r=n时，原方程组仅有零解。

当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。