用积分中值定理怎么解这道题?
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发布时间：2023-11-06 13:30
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时间：2024-12-11 22:50
证明：因为f(1)=3*∫(2/3,1) x^2*f(x)dx
所以根据积分中值定理，存在A∈[2/3,1]
使得f(1)=3*(1-2/3)*A^2*f(A)=A^2*f(A)
令F(x)=x^2*f(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导
因为F(A)=F(1)，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(A,1)⊆(0,1)
使得F'(ξ)=0
即2ξ*f(ξ)+ξ^2*f'(ξ)=0
2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
证毕
