数学归纳法与第一数学归纳法有什么异同?

发布网友发布时间：2023-11-02 13:43

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热心网友时间：2024-12-02 04:39

一、定义不同

1、第一数学归纳法：第一数学归纳法可以概括为以下三步：归纳奠基：证明n=1时命题成立；归纳假设：假设n=k时命题成立；归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

2、第二数学归纳法：数学归纳法是一种重要的论证方法，本文从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨。

二、使用方法不同

1、第一数学归纳法：第一归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡事能用第一归纳法的，都可以使用第二归纳法。

2、第二数学归纳法：第二归纳法可以证明的，第一归纳法并不一定能证明。

第二数学归纳法用反证法证明。

假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。

但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。

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第二数学归纳法的证明：

对于证明过程的第一个步骤即n=1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n=1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n=k+1的验证过程。

事实上，不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n=k+1时成立是利用了假设条件；等式在n=k及n=k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n=k及n=k－1分别代换成了n=k－1和n=k－2。

然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n=k+1时的成立问题转化为验证命题在n=k－2+1时的成立问题。换言之，使命题在n=k+1成立的必要条件是命题在n=k－2+1时成立，根据1的取值范围，而命题在n=k－k+1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。。

以上分析表明，假如论证命在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。

之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立。

参考资料来源：百度百科-第一数学归纳法

参考资料来源：百度百科-第二数学归纳法