商集的定义是什么？
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发布时间：2022-04-20 08:07
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热心网友
时间：2023-08-26 17:40
R是A上的[等价关系]，由关于R的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为A关于R的[商集]，记作A/R
本质上说，集合A关于等价干系R的商集A/R是A上的一个[划分]，等价类就是[块]。即商集A/R中，全部元素相并就等于集合A，任意两个元素相交都为空集。
S={A1,A2,..An}
A1并A2并...并An=A 且 Ai交Aj={} (i><j;i,j=1,2...n)
==>S是A的一个划分，Ai是A的子集，也是划分S的块。
[定理] A上的一个划分S能唯一确定一个等价关系R
这个划分S就是A关于R的商集A/R，S=A/R
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附：
·[二元关系]
设A,B是集合，R是笛卡儿乘积AxB的子集，则称R是A到B的一个二元关系，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,b)}
·[自反的二元关系]
如果对于集合A的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系R，则称R为自反的二元关系
·[对称的二元关系]
如果每当(a,b)属于R，就一定有(b,a)属于R，则称R是对称的二元关系
·[传递的二元关系]
如果每当有(a,b),(b,c)属于R，必有(a,c)属于R，则称传递的二元关系
·[等价关系]
R是A上的[二元关系]，如果R是自反的、对称的、传递的二元关系，则称R为A上的[等价关系]。
·[等价类]
设R是A的等价关系，a是A中的任意元素，由A中的所有与a相关的元素组成的集合，称为a关于R的等价类，记作[a]R
·例如：
A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；
R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，
若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，
则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}
A中各元素关于R的等价类分别是：
[a]R=[b]R={a,b}
[c]R={c}
[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}
A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,{d}R}={{a,b},{c},{d,e,f}}
参考资料：离散数学
热心网友
时间：2023-08-26 17:41
商群是群论中的概念。定义为：
设I为R的不变子群，以I分割R的陪集串为元素，形成一个新的集合{I，g1I，g2I，……}并定义其中的乘法法则：giIgjI=gigjI，则这个集合形成一个R的商群，记为R/I。
热心网友
时间：2023-08-26 17:41
