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求r=√2sinθ与r^2=cos2θ所围成的图形的公共部分的面积

发布网友 发布时间:2022-04-29 20:47

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热心网友 时间:2022-06-22 13:34

这是一组极坐标方程。r=3cosθ是以(1.5,0)为圆心,3为直径的圆;r=1+cosθ是帕斯卡蜗线的一种;r=√2sinθ是以(0,√2/2)为圆心,√2为直径的圆;r^2=cos2θ是双纽线的一种。
①为了计算“r=3cosθ与r=1+cosθ围成图形的公共部分面积”可先计算它们的交点:令3cosθ=1+cosθ,解得θ1=-π/3,θ2=π/3,在(-π/3,π/3)范围内显然3cosθ>1+cosθ,于是可得被积函数f=3cosθ-(1+cosθ)=2cosθ-1,(-π/3,π/3)实际上也是积分区间,由此得面积
s=(-π/3→π/3)∫(2cosθ-1)dθ
这积分请你自己计算。
②为了计算“r=√2sinθ与r^2=cos2θ的公共部分面积”,注意到两条曲线都关于y轴对称,而前者完全位于上半平面,故只需计算第一象限部分,再2倍即可。

(√2sinθ)²=cos2θ
解得
θ=π/6
而r^2=cos2θ=0
可得
θ=π/4,所以所围图形位于区间(π/6,π/4)内
s=2(π/6→π/4)∫|√2sinθ-√cos2θ|dθ
请注意该积分中有绝对值符号。
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