函数f(x)在[a,b]上有原函数，则f(x)在[a,b]上可积为什么错了？

发布网友发布时间：2022-04-29 18:55

共1个回答

热心网友时间：2023-10-05 07:42

今年考研，前两天因为这个问题头都大了，然后仔细的看了好多遍恍然大悟，希望我能说明白，这是第二次回答类似问题了
因为有原函数和可积分根本就是两个概念，我们所谓的由原函指的得是不定积分，
如果f(x)可导则，f（x）一定连续，可到的必要条件反过来不然，
于是f（x）连续就一定有原函数，反之不对，（有原函数充分条件条件）
所以我们说有第一类间断点的函数必然没有原函数。如果函数间断就必然是有限个第二类间断点，这里的有原函数指的是不定积分，是导数的逆运算
再说可积的问题，我们说的可积指的是再定积分里面算面积时候的可积的一个概念，是在某一区间内对一个函数F（x）做不定积分，则我们说这个函数可以有原函数也可以没有，只是针对该曲线进行积分，于是如果有第一类间断点我们可以将函数分段，注意第一间断点是由左右极限不相等的间断点，当我们分段处理再相加之后便可以得到这一区域的面积，于是我们说如果函数可以积则该函数是否连续无所谓，但是如果有间断点一定是有限个第一类的间断点，如果函数有第二类间断点是不可积的因为第二类间断点是指向于无穷所以我们没办法求面积于是不可积

所以我们说这个有原函数与否相对于不定积分，而是否可积则是定积分
我想你应该也知道定积分和不定积分本身也是两个不同的东西，而且这一个是函数一个是一个数，于是乎你明白了么？追问能举个反例吗？

追答f（x）=1/x 这个函数有原函数y=lnx但是在（-1,1）不可积
这种例子很多，所有有有限个第一类间断点的函数都同理~ tanx ……