水分运动基本方程
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发布时间：2022-04-29 18:51
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时间：2022-06-19 21:18
1.质量守恒原理与基本方程的推导
达西定律是流体在多孔介质中流动所满足的能量守恒方程。质量守恒是物质运动和变化普遍遵循的原理，将质量守恒原理具体应用在多孔介质中的流体运动即为连续方程。达西定律和连续方程相结合便可导出描述冻融土壤介质中水分运动的基本微分方程。
假设在土壤水分流动的空间内任取一点P（x、y、z），以P点为中心取一无限小的微分单元体（平行六面体），六面体的边长分别为Δx、Δy、Δz，且和相应的坐标轴平行（如图6-5所示）。下面分析自t至t+Δt时间内，单元体的水体质量守恒和能量守恒，并建立非饱和冻土水分运动的基本微分方程。
图6-5 直角坐标系中的单元体
设冰相与土壤固体颗粒一样不流动，单元体中心土壤水分通量在x、y、z三个方向上的分量分别为qlx，qly，qlz，水的密度为ρl，冰的密度为ρi，x、y、z方向上水汽质量通量分别为qvx，qvy，qvz，在Δt时段内，沿x、y、z三个方向流入和流出单元体的土壤水分质量差的总和为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
即：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
在单元体内，土壤液态水分的质量为ρlθlΔxΔyΔz，固态水分质量为ρiθiΔxΔyΔz。由于固相骨架不变形，即Δx、Δy、Δz不随时间改变，因此，Δt时间内单元体内土壤水分质量的变化量为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
式中，θl为土壤体积含水率；θi为土壤体积含冰率。
单元体内土壤水分质量的变化是由流入和流出单元体的水分差造成的。根据质量守恒定律，两者在数值上相等。因此可得土壤水分运动的基本微分方程：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
或表示为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
式中，Δ·（ρll）记为 div（ρl），称为（ρl）的散度，Δ·称为的散度。
当土壤水和冰不可压缩时，ρl和ρi均为常数，此时的连续方程可写为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
将非饱和土壤的达西定律代入上式得：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
上式可展开为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
设土壤为各向同性介质，则kx（θ）=ky（θ）=kz（θ）=k（θ）。对于非饱和流动，总水势Ψ由基质势Ψm和重力势Ψg组成。取单位重量土壤水分的水势，则Ψ=Ψm±z。z前的正负号，视z坐标的方向而定，z坐标向上为正时取正号，z坐标向下为正时取负号。将此关系代入到上式可得非饱和冻融土壤水分运动的基本微分方程：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
据Fick定律，式中，
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
式中，Dv、ρv分别为土壤中的水汽扩散率和土壤孔隙中的水汽密度。
将Fick定律表达式代入式（6.12）得：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
该式即为非饱和冻融土壤水分运动的基本微分方程。由于导水率是基质势Ψm或含水率θ的函数，故此方程为一个二阶非线性的偏微分方程。除少量问题外，一般情况下用解析法求解此方程非常困难，大量的实际问题须用数值法求解。
2.基本方程的各种形式
运用基本方程解决实际问题时，遇到的情况是各式各样的。例如，有的土壤剖面可近似为均质土壤，有的则须视为层状土壤；有的土壤剖面须考虑地下水位的存在和变化，有的则可视为无地下水位；有的土壤水分运动可视为一维或二维（平面）的流动问题，对此宜用直角坐标系，有的则可近似为轴对称流动问题，宜用柱坐标系，如此等等。为了适应复杂多变的实际问题，并使得问题的分析比较简便，以下给出几种常见的基本方程形式（未加说明时，垂直坐标z均取向上为正）。
（1）以基质势Ψm为因变量的基本方程
非饱和土壤导水率K和比水容量C均可表示为土壤含水率θ的函数K（θ）和C（θ），也可表示为基质势Ψm的函数 K（Ψm），C（Ψm）。由比水容量的定义 C=，方程（6.12）的左端项可改写为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
由此，便可将方程（6.12）改写为以基质势Ψm为因变量的基本方程：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
或记为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
若所研究的是一维垂向流动，方程可简化为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
以土壤水吸力s（s=-Ψm）作为因变量的基本方程很少用到，但将基质势Ψm表示为负压水头h（h=Ψm）的基本方程在文献中特别是在研究饱和-非饱和流动时是常遇到的。此时方程（6.16）则改写为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
式中，h=为土壤饱和-非饱和交界点距坐标原点的垂向距离；z 为土壤饱和层内某一点距坐标原点的垂向距离。
由于滞后作用，基质势Ψm和含水率θ不是单值函数，土壤吸湿过程和脱湿过程不相同。因此，上述基本方程应只用于脱湿或吸湿的单一过程，或将水分特征曲线简化为单值函数。这一使用条件对其他形式的基本方程同样适用。
（2）以含水率θ为因变量的基本方程
为了实际应用的目的，将导水率K（θ）和比水容量C（θ）的比值，定义为非饱和土壤水分的扩散率D（θ），即：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
显然，非饱和土壤水的扩散率D同样是土壤含水率θ或基质势Ψm的函数。其函数关系必须通过试验测定，常用的经验公式有：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
式中，θ0为某一特征含水率，D0、m、β为经验常数，取决于土壤质地和结构。
引入扩散率后，对于任意空间坐标P（x，y，z），利用复合函数求导法则均有：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
所以，以扩散率表示的非饱和流动的达西定律可表示为以下的形式：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
同理，由基本方程（6.12）可改写出以含水率θ为因变量的土壤水分运动基本方程：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
该方程还可表示为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
或
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
对于垂直向一维流动，方程简化为：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
以上是非饱和土壤水分运动基本方程的另一类形式。方程中引用了扩散率，且方程的形式与热传导方程类似，故常称为扩散型方程，但这只是一种数学上的处理。土壤水分运动本质上不是扩散运动，含水率梯度本身也不是水分运动的驱动力，只是含蓄地反映了基质势的梯度而已。
（3）以位置坐标z为因变量的基本方程
对于某些较为简单的情况，用解析或半解析方法对非饱和流动求解时，将位置坐标作为未知函数（因变量）z（θ，t）将更为方便。此时，含水率将以隐函数的形式表示。由于：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
利用微分法则不难得出：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
将此关系代入式（6.26）中，可以导出相应于式（6.26）且以z（θ，t）为未知函数的一维冻融土壤系统水分运动的基本方程：
水分在季节性非饱和冻融土壤中的运动
该方程主要用于较简单条件下土壤水分运动问题的解析或半解析求解。
