求前n个自然数的平方和公式

发布网友 发布时间：2022-04-29 18:26

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热心网友 时间：2022-06-19 01:07

前n个自然数的平方和公式为：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用数学归纳法：

n=1时，1=1*2*3/6=1成立

假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²

那么n=k+1

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

=（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

即n=k+1时，也成立；

所以：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

常用平方根

√0=0（表示根号0等于0，下同）

√1=1

√2=1.4142135623731

√3=1.73205080756888

√4=2

√5=2.23606797749979

√6=2.44948974278318

√7=2.64575131106459

√8=2.82842712474619

√9=3

√10=3.16227766016838

热心网友 时间：2022-06-19 01:07

前n个自然数的平方和公式为：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用数学归纳法：

n=1时，1=1*2*3/6=1成立

假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²

那么n=k+1

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

=（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

即n=k+1时，也成立；

所以：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

按是否是偶数分

可分为奇数和偶数。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数。

注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）。

按因数个数分

可分为质数、合数、1和0。

1、质 数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

2、合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

备注：这里是因数不是约数。

热心网友 时间：2022-06-19 01:08

帕斯卡与前n个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（PascalB.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。

这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1，移项可得（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，此式对于任何自然数n都成立。

依次把n＝1,2，3，…，n－1，n代入上式可得23－13＝3•12＋3•1＋1，33－23＝3•22＋3•2＋1，43－33＝3•32＋3•3＋1，……………………………n3－（n－1）3＝3（n－1）2＋3（n－1）＋1，（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1。

把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1）3－1；而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。

因而我们得到（n＋1）3－1＝3Sn＋＋n，现在这里Sn＝12＋22＋…＋n2。对这个结果进行恒等变形可得n3＋3n2＋3n＝3Sn＋＋n，2n3＋6n2＋6n＝6Sn＋3n2＋3n＋2n移项、合并同类项可得6Sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1），∴Sn＝n（n＋1）（2n＋1），即12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）。

这个方法把所要计算的前n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前n个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前n个。

热心网友 时间：2022-06-19 01:09

这个看看

热心网友 时间：2022-06-19 01:09