为什么二阶线性微分方程的通解就是一切解
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发布时间：2022-04-28 18:18
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时间：2023-09-14 02:54
原因是：如果y1与y2线性相关，则存在常数k，使得y2=ky1，所以y=c1y1+c2y2=[c1+kc2]y1，记c=c1+kc2，则y=c1y1+c2y2=cy1，不符合二阶线性齐次微分方程的通解的结构。
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。
若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
扩展资料：
微分算子法求解不同类型常系数非齐次线性微分方程，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y。
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式，F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)。
参考资料来源：百度百科-二阶常系数线性微分方程
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时间：2023-09-14 02:55
