数列如何求和？（如1、3、6、10、15作为一个数列。就是公差递增的数列？
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发布时间：2022-04-27 08:50
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热心网友
时间：2023-09-15 08:21
差2 3 4 5
an=（1+2+3+。。。+n)
=(1+n)n/2
=1/2 (n平方+n)
=。。。
热心网友
时间：2023-09-15 08:21
a2-a1=2
a3-a2=3
……
an-a[n-1]=n
以上所有式子叠加得到：
an-1=2+3+……+n
an=1+2+……+n=1/2n^2+1/2n
现在有一个重要的公式，就是通项为n^2的数列的求和，其前n项和S为n(n+1)(2n+1)/6
我们现在简单证明一下。
我们都知道(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1→(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
……
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
以上所有式子叠加得到:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(1+2+……+n)+n
之后再化简，因式分解即可得如上的前n项和公式
知道这个公式后，对其通项求和：
Sn=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(n+2)/6追问那有没有一个求和公式是对于所有的公差递增数列求和都成立的？
追答这个可以有
设一个数列首项为a1,第二项与第一项的差(公差的第一项)为k，公差成等差数列，设公差的公差为d
a2-a1=k,
a3-a2=k+d
……
an-a[n-1]=k+(n-2)d
叠加得:
an-a1=(n-1)k+(n-1)(n-2)/2d
an=d/2n^2+(k-3d/2)n+a1+d-k
套等差数列与平方数数列的求和公式得：
Sn=dn(n+1)(2n+1)/12+(k-3/2d)(n+1)n/2+n(a1+d-k)
