树结构的树的应用
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发布时间：2022-04-27 04:44
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时间：2022-06-26 10:22
排序是一种十分重要的运算。所谓排序就是把一堆杂乱无章的元素按照某种次序排列起来，形成一个线性有序的序列。二叉排序树是利用二叉树的结构特点来实现对元素排序的。
一、二叉排序树的定义
二叉排序树或者是空树，或者是具有如下性质的二叉树：
1、左子树上所有结点的数据值均小于根结点的数据值；
2、右子树上所有结点的数据值均大于或等于根结点的数据值；
3、左子树、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
由此可见，二叉排序树是一种特殊结构的二叉树。（18（10（3，15（12，15）），21（20，21（，37））））就是一棵二叉排序树。
二、二叉排序树的构造
二叉排序树的构造过程实质上就是排序的过程，它是二叉排序树作媒介，将一个任意的数据序列变成一个有序序列。二叉排序树的构造一般是采用陆续插入结点的办法逐步构成的。具体构造的思路是：
1、以待排序的数据的第一个数据构成根结点；
2、对以后的各个数据，逐个插入结点，而且规定：在插入过程的每一步，原有树结点位置不再变动，只是将新数据的结点作为一个叶子结点插入到合适的位置，使树中任何结点的数据与其左、右子树结点数据之间的关系仍然符合对二叉排序树的要求。 一、哈夫曼树的含义：哈夫曼树是一种带权路径长度最短的树。
所谓路径长度就是某个端结点到树的根结点的距离，等于该端结点的祖先数，或该结点所在层数减1，用lk表示。二叉树中每个端结点对应的一个实数称为该结点的权，用Wk表示。我们定义各端结点的权Wk与相应的路径程度lk乘积的代数和为该二叉树的带权路径长度，用WPL表示，即：
可以证明，哈夫曼树是最优二叉树。如给定权值{5，4，7，2，3}，可以生成很多棵二叉树，其中的（A（B（7，5），C（4，D（3，2））））是哈夫曼树。
二、哈夫曼树的构造
1、哈夫曼算法：
（1）根据给定的n个权值{W1，W2，…，Wn}构成n棵二叉树的森林：F{T1，T2，…，Tn}。其中每棵二叉树Ti只有一个带权为Wi的根结点，其左右子树为空。
（2）在F中选取两棵结点的权值最小的树作为左右子树构成一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
（3）在F中删除这两棵树，同时，将新得到的二叉树加入F中。
（4）重复（2）、（3），直到F只含一棵树为止。最后的这棵树便是哈夫曼树。
2、算法描述
为了上述算法，选用数组型的链表作为存储结构，其类型设计如下：
Type tnode=RECORD
weight：real；
Lc，Rc：integer；
END；
tree=ARRAY[1..2*n-1] of tnode;
node=RECORD
weight：real；
adr：integer；
END；
A=ARRAY[1..n] of node;
下面是在这个存储结构上实现的构造哈夫曼树的算法：
Procere Huffmantree（VAR W：ARRAY[1..n]OF real;VAR TR:tree）；
VAR AT:A;
BENGIN
FOR i:=1 TO n DO{实现第(1)步}
BEGIN
TR[i].weight:=W[i];{将权值放在树叶中}
TR[i].Lc：=0；
TR[i].Rc：=0；
AT[i].weight:=TR[i].weight;{用AT存放当前森林的根}
AT[i].adr:=i;
END;
num:=n;{森林中结点个数}
K:=num+1;{形成的新结点在TR数组中的位置}
WHILE (num>=2) DO {重复实现第(2)、(3)步}
BEGIN
SORTING(AT,num);{按根值大小对森林中的树进行升序排列}
TR[k].weight:=AT[1].weight+AT[2].weight;
{选择两棵结点权值最小的树构造新二叉树}
TR[k].Lc:=AT[1].adr; {左子树：权值最小的树}
TR[k].Rc:=AT[2].adr; {右子树：权值次小的树}
AT[1].weight:=TR[k].weight; {新树赋予第一}
AT[1].adr:=k; {新树结点标号}
AT[2].weight:=AT[num].weight;{原最后树赋予第二}
AT[2].adr:=AT[num].adr; {跟进结点标号}
num:=num-1; {删除原最后树}
k:=k+1; {增加结点标号}
END;
END;
三、应用：哈夫曼编码
利用哈夫曼树构造的用于通信的二进制编码，称为哈夫曼编码。
例如，有一段电文‘CAST TAT A SA’，统计电文中字母的频度，f('C')=1,f('S')=2,f('T')=3,f(' ')=3,f('A')=4，可用其频度{1，2，3，3，4}为权值生成Huffman树，并在每个叶子上注明对应的字符。树中从根到每个叶子都有一条路径，若对路径上的各分支进行约定，指向左子树根的分支用“0”码表示，指向右子树根的分支用“1”码表示，再取每条路径上的“0”或“1”的序列作为与各个叶子对应的字符的编码，这就是哈夫曼编码。
