证明:可分度量空间的每一个子空间都是可分空间?

发布网友发布时间：2022-04-27 06:25

共2个回答

热心网友时间：2022-06-27 15:42

设X={xn}是可分度量空间V有可数稠密子集, V1是V的任意一个非空子空间, d是度量.
由于X在V中稠密, 所以对任意的k>=1, V=U{n>=1}B(xn,1/k), 这里U表示取并集, B(xn,1/k)表示中心为xn半径为1/k的球
从而V1=V1∩V=V1∩(U{n>=1}B(xn,1/k))=U{n>=1}{B(xn,1/k)∩V1}
在每一个非空的B(xn,1/k)∩V中取一个元素记作znk, 这样的znk至多可数个, 它们构成一个集合记作Z, 则Z就是V1的可数稠密子集. 事实上, 对任意的k>=1, 任取V1中元素x, 由于V1=U{n>=1}{B(xn,1/(2k))∩V1}, 所以存在n>=1使得x∈B(xn,1/(2k))∩V1, 由于B(xn,1/(2k))∩V1非空, 所以znk是存在的, 因此d(x,znk)<=d(x,xn)+d(xn,znk)<1/(2k)+1/(2k)=1/k. 由k的任意性知Z在V1中稠密.追问你的答案好无趣啊，特复杂了哇。、

追答是的，很无趣，我也想不出更简单的了！

热心网友时间：2022-06-27 15:42

我们老师也让证这个命题，但是不是有问题呢？原可分空间定为（X，d)。
1、子空间M也是个空间，所以由空间可分的定义，M有一个可数（可列无限对吧）的稠密子集。
2、若子空间M只有有限个元素呢，则可分的前提都不满足，M不可能有可数无限个不同元素（以离散空间为简单反例，原空间的任意有限或无限子集都能形成度量空间吧），不可能为可分空间。
3、我认为是不是在子空间中增加无限两字，即无限的子空间，那样命题应该是成立的。
4、探讨一下，是不是所有的可分空间应该默认一个大前提：那就是空间中有无限多个元素呢？？？？？