一道关于三角形中位线的几何题

发布网友发布时间：2022-04-27 06:17

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热心网友时间：2022-06-27 12:48

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行于BC且等于BC/2

方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）

∴△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

方法二：坐标法：

设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2

另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）

这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2

最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

方法三：

延长DE到点G，使EG=DE，连接CG

∵点E是AC中点

∴AE=CE

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE

∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

∴AD=CG、∠G=∠ADE

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

∵点D在边AB上

∴DB∥CG

∴BCGD是平行四边形

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立[2]

方法四：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]

∴DE//BC且DE=BC/2

热心网友时间：2022-06-27 12:48

证明：∵AD=BD AE=EC∴AD:AD+BD=AE:AE+EC即：AD:AB=AE:AC∴DE∥BC 第二问证明：做EF∥AB交BC与F则DBFE为平行四边形所以DE=BF又∵三角形ADE与三角形EFC中AE=EC,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠C所以两个三角形全等∴DE=FC∴DE=�0�5（BF+FC）=�0�5BC

热心网友时间：2022-06-27 12:49

证明：在三角形ABC中因为AD=BD，所以D为AB中点，AE=CE，所以E为AC中点所以DE为三角形ABC中位线所以DE//BC 所以DE=1/2 BC（中位线定理）