定积分交换上下限后为什么符号相反?

发布网友 发布时间：2022-04-27 07:51

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热心网友 时间：2022-06-28 18:21

根据定积分的定义：定积分是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所围成图形的面积。因此如果交换上下限后，区间就变成相反的了，这时的面积是负值，不符合要求，因此需要变换符号。

定积分的性质：

1、当a=b时，

2、当a<b时，

3、常数可以提到积分号前，

4、代数和的积分等于积分的代数和。

扩展资料：

定积分和不定积分的辨别：

若定积分存在，则是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，两者在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它没有关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

热心网友 时间：2022-06-28 18:22

1、所围面积，分隔成的n个细长的竖立长方形。

2、每个长方形的宽度是：整个区间宽度除以长方形的个数。

3、而长方形高度的计算，不是用长方形左端点的坐标代进函数计算，就是用长方形的右端点的坐标代入函数计算，就每一个长方形而言，其面积代替阴影下的小块面积，或大或小，在取极限后，误差为0。

定积分的定义由分割、近似、求和、取极限构成。用定义去求定积分比较复杂，可以考虑用牛顿-莱布尼茨公式来求定积分：即先求出原函数，然后代入上下限求出定积分。

扩展资料

定积分的计算一般思路与步骤

1、分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。

2、考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。

3、考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。

4、考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上。

是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数。

与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元。

参考资料来源：百度百科-定积分

热心网友 时间：2022-06-28 18:22

这要根据定积分的定义来理解：

1、所围面积，分隔成的n个细长的竖立长方形。

2、每个长方形的宽度是：整个区间宽度除以长方形的个数。

3、而长方形高度的计算，不是用长方形左端点的坐标代进函数计算，就是用长方形的右端点的坐标代入函数计算，就每一个长方形而言，其面积代替阴影下的小块面积，或大或小，在取极限后，误差为0。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。只要是上方的函数减去下方的函数，然后积分，就绝对不会出现符号问题。

平时的积分，由于减去的是x轴的函数，也就是y=0；而在x轴下方的图形，自然要x轴的函数减去x轴下方的函数，也就是 0 - f(x) = - f(x)，这就是负号的来源。负号不是人为加上去的，而是由x轴减下方函数所固有的。

参考资料来源：百度百科——定积分

热心网友 时间：2022-06-28 18:23

1、隔成的n个细长的竖立长方形。

2、每个长方形的宽度是：整个区间宽度除以长方形的个数。

3、而长方形高度的计算，不是用长方形左端点的坐标代进函数计算，就是用长方形的右端点的坐标代入函数计算，就每一个长方形而言，其面积代替阴影下的小块面积，或大或小，在取极限后，误差为0。

4、由于计算每一个长方形的底宽时,是用△x表示的,△x=x₂- x₁(x₂> x₁)，而整体宽度是 b - a,(b>a).△x = [b - a]/n。
在这样方法下,积分从a积到b.如果调换,自然就改变成相反符号。

扩展资料：

定积分其他性质：

1、当a=b时，

2、当a>b时，

3、常数可以提到积分号前。

4、代数和的积分等于积分的代数和。

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使

参考资料来源：百度百科-定积分

热心网友 时间：2022-06-28 18:23

追答表面来看，不严格地说，这种说法是对的。
严格来说，这是牵强附会的说法。原因是：
1、积分求面积，永远不会出现负值。
但是，平时的教科书上、数学老师的教学中，却经常有负值的情况，或者见到加
绝对值符号的情况，原因有二：一是确确实实有不少教师糊里糊涂，拿起函数就
莫名其妙地积起分来，发现负号后，赶紧自圆其说，加个绝对值唐塞一下；二是
理论上讨论时的一种处理方法。
2、只要是上方的函数减去下方的函数，然后积分，就绝对不会出现符号问题。
平时的积分，由于减去的是x轴的函数，也就是y=0；
而在x轴下方的图形，自然要x轴的函数减去x轴下方的函数，也就是 0 - f(x) = - f(x)
这就是负号的来源，并不是如一些老师说的那样：“因为面积不能为负，所以必须
再加上一个负号，加以纠正。”这完全是错误的解释， 负号不是人为加上去的，
而是由x轴减下方函数所固有的。由于数值上没有影响，以致一直有很多教师误导
而不能得以纠正。
3、楼主所问的“交换上下限后的图像与原图像关于x轴对称？”的问题，与此有关。
因为调换了上下限后，符号确实发生了变化，也好像对x轴下方的函数积分求面积
一样。在数值上，确确实实是一样的。但是：
A、随随便便拿x轴下方的函数积分，以为是求面积，那是糊涂教师所为；
B、图像没有反射到x轴的下方去。
C、交换上下限，只是表示积分方向相反，好像左撇子从右积到左。
不过，作为趣味理解，也未尝不可。不过，这是不确切的说法。

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