已知一个三阶矩阵为正交矩阵,怎么求其中的某一个未知数

发布网友 发布时间：2022-04-29 03:40

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热心网友 时间：2023-10-09 13:24

昨天我被一道习题卡了很久，其实理论上硬算是可行的，但是我试图写出更好的解答，所以就多想了一会儿。而它的背景，后来我发现是正交矩阵。

正交矩阵的定义粗略看起来没什么特别的，就是使得 [公式] 的矩阵 [公式]

其中 [公式] 表示 [公式] 的转置矩阵， [公式] 表示单位矩阵。

我们指出一些正交矩阵的代数性质：

1. 两个 [公式] 级正交矩阵 [公式] 的积 [公式] 也是正交矩阵。这是因为

[公式]

2. 单位矩阵是正交矩阵。这是显然的。

3. 根据矩阵乘法的行列式，正交矩阵一定可逆，且行列式为 [公式]

进一步地，成立 [公式] 且 [公式] 也是正交矩阵，且行列式与 [公式] 相等。

所以全体 [公式] 级正交矩阵关于矩阵的乘法是一个群。

接下来还有更神奇的性质，这需要引入欧氏空间，然后解释正交矩阵名字的由来。

欧氏空间首先是 [公式] 其次和普通的线性空间 [公式] 的区别在于加入了内积运算：

[公式]

称 [公式] 正交是指 [公式]

另外，有了内积就可以定义长度

[公式]

热心网友 时间：2023-10-09 13:25

你把三阶矩阵看做是三个列向量，那么三个列向量两两正交，且模长是1。
两两正交就是内积为0，比如说有(√2/2)(1,-1,0)T,(√3/3)(-1,1,1)T,(1/√(2²+a²))(2,a,0)T
那么，可以忽略单位化的系数，有两个方程：
1*2+(-1)*a+0*0=2-a=0
-1*2+1*a+0*0=a-2=0
则a=2.（一般来说一个未知数一个方程就可以解了）
但是也有正交解不了的情况，比如：你分解成(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,a)T.
那么有两个方程
1*0+0*0+0*a=0
0*0+1*0+0*a=0
显然其实都成立。
那么就再用模长为1的性质，
0+0+a²=1
解得a=±1

热心网友 时间：2023-10-09 13:24

昨天我被一道习题卡了很久，其实理论上硬算是可行的，但是我试图写出更好的解答，所以就多想了一会儿。而它的背景，后来我发现是正交矩阵。

正交矩阵的定义粗略看起来没什么特别的，就是使得 [公式] 的矩阵 [公式]

其中 [公式] 表示 [公式] 的转置矩阵， [公式] 表示单位矩阵。

我们指出一些正交矩阵的代数性质：

1. 两个 [公式] 级正交矩阵 [公式] 的积 [公式] 也是正交矩阵。这是因为

[公式]

2. 单位矩阵是正交矩阵。这是显然的。

3. 根据矩阵乘法的行列式，正交矩阵一定可逆，且行列式为 [公式]

进一步地，成立 [公式] 且 [公式] 也是正交矩阵，且行列式与 [公式] 相等。

所以全体 [公式] 级正交矩阵关于矩阵的乘法是一个群。

接下来还有更神奇的性质，这需要引入欧氏空间，然后解释正交矩阵名字的由来。

欧氏空间首先是 [公式] 其次和普通的线性空间 [公式] 的区别在于加入了内积运算：

[公式]

称 [公式] 正交是指 [公式]

另外，有了内积就可以定义长度

[公式]

热心网友 时间：2023-10-09 13:25

你把三阶矩阵看做是三个列向量，那么三个列向量两两正交，且模长是1。
两两正交就是内积为0，比如说有(√2/2)(1,-1,0)T,(√3/3)(-1,1,1)T,(1/√(2²+a²))(2,a,0)T
那么，可以忽略单位化的系数，有两个方程：
1*2+(-1)*a+0*0=2-a=0
-1*2+1*a+0*0=a-2=0
则a=2.（一般来说一个未知数一个方程就可以解了）
但是也有正交解不了的情况，比如：你分解成(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,a)T.
那么有两个方程
1*0+0*0+0*a=0
0*0+1*0+0*a=0
显然其实都成立。
那么就再用模长为1的性质，
0+0+a²=1
解得a=±1

热心网友 时间：2023-10-09 13:24

昨天我被一道习题卡了很久，其实理论上硬算是可行的，但是我试图写出更好的解答，所以就多想了一会儿。而它的背景，后来我发现是正交矩阵。

正交矩阵的定义粗略看起来没什么特别的，就是使得 [公式] 的矩阵 [公式]

其中 [公式] 表示 [公式] 的转置矩阵， [公式] 表示单位矩阵。

我们指出一些正交矩阵的代数性质：

1. 两个 [公式] 级正交矩阵 [公式] 的积 [公式] 也是正交矩阵。这是因为

[公式]

2. 单位矩阵是正交矩阵。这是显然的。

3. 根据矩阵乘法的行列式，正交矩阵一定可逆，且行列式为 [公式]

进一步地，成立 [公式] 且 [公式] 也是正交矩阵，且行列式与 [公式] 相等。

所以全体 [公式] 级正交矩阵关于矩阵的乘法是一个群。

接下来还有更神奇的性质，这需要引入欧氏空间，然后解释正交矩阵名字的由来。

欧氏空间首先是 [公式] 其次和普通的线性空间 [公式] 的区别在于加入了内积运算：

[公式]

称 [公式] 正交是指 [公式]

另外，有了内积就可以定义长度

[公式]

热心网友 时间：2023-10-09 13:25

你把三阶矩阵看做是三个列向量，那么三个列向量两两正交，且模长是1。
两两正交就是内积为0，比如说有(√2/2)(1,-1,0)T,(√3/3)(-1,1,1)T,(1/√(2²+a²))(2,a,0)T
那么，可以忽略单位化的系数，有两个方程：
1*2+(-1)*a+0*0=2-a=0
-1*2+1*a+0*0=a-2=0
则a=2.（一般来说一个未知数一个方程就可以解了）
但是也有正交解不了的情况，比如：你分解成(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,a)T.
那么有两个方程
1*0+0*0+0*a=0
0*0+1*0+0*a=0
显然其实都成立。
那么就再用模长为1的性质，
0+0+a²=1
解得a=±1