在量子力学中，把一维谐振子推广到二维三维的情况是怎么样的？若各向同性，讨论简并度。

发布网友发布时间：2022-04-29 01:03

共2个回答

热心网友时间：2023-09-29 13:36

三维或者二维谐振子因为势能是r^2所以相当于x^2+y^2+Z^2，也就是可以分离求解，波函数为A(x)B(y)C(z)，每一函数都可以是一位谐振子的某个本征态，对二维来说就是两个的叠加，简并度为n+1，三维谐振子能级简并度为1/2(n+1)(n+2)，如果用球坐标计算，二维各向同性谐振子本征态为[F(ξ)ρ^|m| e^-α^2ρ^2/2]e^imφ，其中ξ=α^2ρ^2，α=sprt(μω/h)，F满足合流超几何方程，三维类似，见钱伯初《量子力学》第5章习题。

热心网友时间：2023-09-29 13:36

能量把所有维度能量直接相加（不要忘了零点能），波函数就所有维度各自对应的波函数直接相乘就完了啊。当然三维各向同性谐振子还存在一种用球谐函数来写的表示。
对应于一个s维各向同性谐振子，E(n1,n2....ns)=(n1+n2+...+n2+s/2)hw
所有N=n1+n2+....+ns相等的态简并，这个态的简并度等价于求N分成s个数（可以是0，顺序有关）的分法，下面我们来求这个数。
上面这个问题等价于把N+s分成s个非零的数之和（最后分完了我们再让每个数减1就行），然后这个问题就等价于在N+s个点之间插(s-1)块分割板的方法，答案就是C(s-1,n+s-1)=C(n,n+s-1)