谁会用特征根方程怎么求数列的通向公式?
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发布时间：2022-04-29 06:05
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热心网友
时间：2022-06-20 09:45
解出x
两边同减x（有时是2选1）
两边倒一下
右边分离常数
构成等差等比
热心网友
时间：2022-06-20 09:45
特征根法求解
数列通项公式
一：A(n+1)=pAn+q,
p,q为常数.
（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ),
则
λ=q／(1-p).
（2）此处如果用特征根法：
特征方程为：x=px+q，其根为
x=q/（1-p）
注意：若用特征根法，λ
的系数要是-1
例一：A（n+1)=2An+1
,
其中
q=2,p=1,则
λ
=1/（1-2）=
-1那么
A（n+1）+1=2（An+1）
二：再来个
有点意思
的,三项之间的关系：
A(n+2)=pA(n+1)+qAn，
p,q为常数
（1）通常设：
A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],
则
m+k=p,
mk=q
（2）此处如果用特征根法：
特征方程是y×y=py+q（※）
注意：
①
m
n为（※）两根。
②
m
n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，
③
m
n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的
递推公式
，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的
二元一次方程组
，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)=
-
5A（n+1）+6An，
特征方程为：y×y=
-
5y+6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A]
(1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A]
(2)
所以，A（n+1）-3A（n）=
-
2
^
n
(3)
A（n+1）-2A（n）=
-
3
^
(n-1)
(4)
you
see
消元消去A（n+1），就是An勒
例三：
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列
：0，1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0)
=
0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
(n≥3)
显然这是一个线性
递推数列
。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n
+
C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1
+
C2*X2
C1*X1^2
+
C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1,
-rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可
化简
得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*F(n-2)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+
r^3*F(n-3)
……
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)*F(1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的
等比数列
的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n
-
r^n)/(s-r)
r+s=1,
-rs=1的一解为
s=(1+√5)/2,
r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}
三：最后
准备好了吗
，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：
A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零
此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如
数学归纳法
一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路
（1）此处似乎只能用特征根法：
特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)
①特征方程有两个不等的实根，设为α，β，
则
{（An-α）/（An-β）}为等比数列
注意：α，β可以互换位置
②特征方程有一个实根，α
则
{1/（An-α）}伟
等差数列
③特征方程没有
实数根
，
则
{An}为循环数列，
每年总要有几个题要来个A2007，A2008，A2009，A20xx
例四：这个例题的数字给的十分有意思——伟强
A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）
特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2
则
{（An+√2）/（An－√2）}为等比数列
（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）
＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]
＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]
＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）
＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]
