高中数学必修一每一章的知识点与公式
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发布时间：2022-04-28 13:07
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时间：2023-10-09 20:08
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集
2..集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3..集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……} 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…
②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法：具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，…；
例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
④ Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集，但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集。
⑴有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m<n)
B C A 则C的个数为 个
B C A 或A C B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x xS且 xA}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作 ，即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．
第二章 函数
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果 ，则称 是 的 次方根， 的 次方根为0，若 ，则当 为奇数时， 的 次方根有1个，记做 ；当 为偶数时，负数没有 次方根，正数 的 次方根有2个，其中正的 次方根记做 ．负的 次方根记做 ．
1．负数没有偶次方根；
2．两个关系式： ；
3、正数的正分数指数幂的意义： ；
正数的负分数指数幂的意义： ．
4、分数指数幂的运算性质：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ ，其中 、 均为有理数， ， 均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若 ，且 ， ，则 ．
2．两个对数：
⑴ 常用对数： ， ；
⑵ 自然对数： ， ．
3．三条性质：
⑴ 1的对数是0，即 ；
⑵ 底数的对数是1，即 ；
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ．
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式： ；
⑵ 换底公式： ；
⑶ ； ；
⑷ ．
函数的概念
一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则 ，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量 、 ，对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， 都有唯一确定的值和它对应，则称 是 的函数，记做 ，其中 称为自变量， 变化的范围叫做函数的定义域，和 对应的 的值叫做函数值，函数值 的变化范围叫做函数的值域．
三．函数 是由非空数集 到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知 ，求函数 的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知 是一次函数，且 ，函数 的解析式．
三．由函数 的图像受制约的条件，进而求 的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式：
⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知 定义域为 ，求 定义域；
已知 定义域为 ，求 定义域；
三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域
一次函数
二次函数
时，
时，
反比例函数
，且
指数函数
对数函数
三角函数
二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数 的值域是 ，根据这个函数中 ， 的关系，用 把 表示出，得到 ．若对于 中的每一 值，通过 ，都有唯一的一个 与之对应，那么， 就表示 是自变量， 是自变量 的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 ．
二．函数 存在反函数的条件是： 、 一一对应．
三．求函数 的反函数的方法：
⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域
⑵ 反解，用 表示 ，得
⑶ 交换 、 ，得
⑷ 结论，表明定义域
四．函数 与其反函数 的关系：
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换．
⑵ 若 图像上存在点 ，则 的图像上必有点 ，即若 ，则 ．
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称．
函数的奇偶性：
一．定义：对于函数 定义域中的任意一个 ，如果满足 ，则称函数 为奇函数；如果满足 ，则称函数 为偶函数．
二．判断函数 奇偶性的步骤：
1．判断函数 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；
2．验证 与 的关系，若满足 ，则为奇函数，若满足 ，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
三．已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五．若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
六．一次函数 是奇函数的充要条件是 ；
二次函数 是偶函数的充要条件是 ．
函数的周期性：
一．定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，则 为周期函数， 为这个函数的一个周期．
2．如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．如果函数 的最小正周期为 ，则函数 的最小正周期为 ．
函数的单调性
一．定义：一般的，对于给定区间上的函数 ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时满足：
⑴ ，则称函数 在该区间上是增函数；
⑵ ，则称函数 在该区间上是减函数．
二．判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
*2．导数法：
⑴ 求函数f(x)的导数 ；
⑵ 解不等式 ，所得x的范围就是递增区间；
⑶ 解不等式 ，所得x的范围就是递减区间．
3．复合函数的单调性：
对于复合函数 ，设 ，则 ，可根据它们的单调性确定复合函数 ，具体判断如下表：
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像
一．基本函数的图像．
二．图像变换：
将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位，可得 的图像
将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位，可得 的图像
将 图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍，可得 的图像
将 图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ，可得 的图像
关于 轴对称
关于 轴对称
将 位于 轴左侧的图像去掉，再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧，可得 的图像
将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方，可得 的图像
三．函数图像自身的对称
关系 图像特征
关于 轴对称
关于原点对称
关于 轴对称
关于直线 对称
关于直线 轴对称
关于直线 对称
周期函数，周期为
四．两个函数图像的对称
关系 图像特征
与
关于 轴对称
与
关于 轴对称
与
关于原点对称
与
关于直线 对称
与
关于直线 对称
与
关于 轴对称
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时间：2023-10-09 20:09
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一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集
2..集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3..集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……} 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…
②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法：具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，…；
例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
④ Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集，但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集。
⑴有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m<n)
B C A 则C的个数为 个
B C A 或A C B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作： CSA 即 CSA ={x xS且 xA}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作 ，即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．
第二章 函数
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果 ，则称 是 的 次方根， 的 次方根为0，若 ，则当 为奇数时， 的 次方根有1个，记做 ；当 为偶数时，负数没有 次方根，正数 的 次方根有2个，其中正的 次方根记做 ．负的 次方根记做 ．
1．负数没有偶次方根；
2．两个关系式： ；
3、正数的正分数指数幂的意义： ；
正数的负分数指数幂的意义： ．
4、分数指数幂的运算性质：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ ，其中 、 均为有理数， ， 均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若 ，且 ， ，则 ．
2．两个对数：
⑴ 常用对数： ， ；
⑵ 自然对数： ， ．
3．三条性质：
⑴ 1的对数是0，即 ；
⑵ 底数的对数是1，即 ；
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ．
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式： ；
⑵ 换底公式： ；
⑶ ； ；
⑷ ．
函数的概念
一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则 ，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量 、 ，对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， 都有唯一确定的值和它对应，则称 是 的函数，记做 ，其中 称为自变量， 变化的范围叫做函数的定义域，和 对应的 的值叫做函数值，函数值 的变化范围叫做函数的值域．
三．函数 是由非空数集 到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知 ，求函数 的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知 是一次函数，且 ，函数 的解析式．
三．由函数 的图像受制约的条件，进而求 的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式：
⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知 定义域为 ，求 定义域；
已知 定义域为 ，求 定义域；
三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域
一次函数
二次函数
时，
时，
反比例函数
，且
指数函数
对数函数
三角函数
二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数 的值域是 ，根据这个函数中 ， 的关系，用 把 表示出，得到 ．若对于 中的每一 值，通过 ，都有唯一的一个 与之对应，那么， 就表示 是自变量， 是自变量 的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 ．
二．函数 存在反函数的条件是： 、 一一对应．
三．求函数 的反函数的方法：
⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域
⑵ 反解，用 表示 ，得
⑶ 交换 、 ，得
⑷ 结论，表明定义域
四．函数 与其反函数 的关系：
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换．
⑵ 若 图像上存在点 ，则 的图像上必有点 ，即若 ，则 ．
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称．
函数的奇偶性：
一．定义：对于函数 定义域中的任意一个 ，如果满足 ，则称函数 为奇函数；如果满足 ，则称函数 为偶函数．
二．判断函数 奇偶性的步骤：
1．判断函数 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；
2．验证 与 的关系，若满足 ，则为奇函数，若满足 ，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
三．已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五．若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
六．一次函数 是奇函数的充要条件是 ；
二次函数 是偶函数的充要条件是 ．
函数的周期性：
一．定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，则 为周期函数， 为这个函数的一个周期．
2．如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．如果函数 的最小正周期为 ，则函数 的最小正周期为 ．
函数的单调性
一．定义：一般的，对于给定区间上的函数 ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时满足：
⑴ ，则称函数 在该区间上是增函数；
⑵ ，则称函数 在该区间上是减函数．
二．判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
*2．导数法：
⑴ 求函数f(x)的导数 ；
⑵ 解不等式 ，所得x的范围就是递增区间；
⑶ 解不等式 ，所得x的范围就是递减区间．
3．复合函数的单调性：
对于复合函数 ，设 ，则 ，可根据它们的单调性确定复合函数 ，具体判断如下表：
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像
一．基本函数的图像．
二．图像变换：
将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位，可得 的图像
将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位，可得 的图像
将 图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍，可得 的图像
将 图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ，可得 的图像
关于 轴对称
关于 轴对称
将 位于 轴左侧的图像去掉，再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧，可得 的图像
将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方，可得 的图像
三．函数图像自身的对称
关系 图像特征
关于 轴对称
关于原点对称
关于 轴对称
关于直线 对称
关于直线 轴对称
关于直线 对称
周期函数，周期为
四．两个函数图像的对称
关系 图像特征
与
关于 轴对称
与
关于 轴对称
与
关于原点对称
与
关于直线 对称
与
关于直线 对称
与
关于 轴对称
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时间：2023-10-09 20:09
