高等数学线性代数 这个图像与解之间的关系是什么?
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发布时间：2022-04-27 09:53
共2个回答
热心网友
时间：2023-09-24 17:09
无解的情况:
增广矩阵比系数矩阵的秩多1 (图C,D)
有解的情况:
增广矩阵与系数矩阵的秩相等，
有唯一解时，它们的秩为3 (图A)
有无穷多解时，它们的秩小于3 (图B)
A图
三个平面交于一点，两个秩都等于3。
B图
三个平面交于一条直线且都不重合。两个秩都等于2。
C图
三个平面，两两相交，且交线相互平行。
r(A)=2;r(A~)=3
D图
三个平面中有两个平行，但不重合，第三个平面与这两个平面相交。
r(A)=2;r(A~)=3
三个平面都重合，两个秩都等于1。
热心网友
时间：2023-09-24 17:10
如果三个平面有交点，说明有解，那么矩阵和增广矩阵的秩相等
矩阵A的每一列分别是三个平面的法向量（一个向量就可以确定一个平面）
图A三个平面的法向量两两线性无关，所以r(A)=3,且有一个交点。增广矩阵秩也是3
图B C D 的三个平面法向量在一个平面，所以r(A)=2
图B三个平面有公共交点（是条直线）,有解，所以增广矩阵秩是2
图C D三平面无公共交点，无解，增广矩阵秩是2+1=3.
三直线平行（不重合）的情况是图C.
r(A)=增广矩阵的秩=1时，首先秩相等说明有解，即存在公共交点，其次r(A)=1说明三个平面平行（法向量平行那么平面平行），所以只能是三个平面重合，三条直线就是整个平面（你说不存在貌似也可以说的过去。。。但总归都不严谨）
