帮我讲讲什么是有理数 再出几道题分析一下116
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发布时间：2023-10-08 17:09
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时间：2024-03-31 14:59
【教学结构】
1.正数和负数
我们知道，数学中已经认识的数都是从社会实践活动中抽象出来的。在小学阶段学习的正整数，正分数和零都是表示某种量的多少。正数和负数的引入，是因为在实际生活中存在大量具有相反意义的量，它用小学学过的数，不能明确表示其相反的情况。例如某天的某一时刻，在A城是零上10℃，在B城则是零下10℃，仅用度数“10”就不能把两地的温度区别描述出来。又如甲向北走5公里，乙向南走5公里，这个距离“5”也不能把甲、乙两人走的方向描述出来。我们把“零上x度与零下x度”，“向北5公里和向南5公里”等称之为具有相反意义的量。若把其中某个意义的量规定为正量，则与它意义相反的另一个量就规定为负量。如“零上10℃”规定为正10℃，则零下10℃就为负10℃。把正量和负量的单位去掉，就得到正数和负数的概念。像5、1.5、10 、9840等大于0的数叫做正数。在正数前面加上“－”（读作负）号的数，如－5、－1.5、－10 、 －9840等叫做负数。其中，正数前面的“+”号可以忽略不写。
在有关具有相反意义的量的问题中，是否有“既不向上，也不向下”，“既不向北，也不向南”的情况呢？答案是肯定的。“正的量”和“负的量”的分界点，是既不正也不负的，这点应该用小学学过的“零”来表示。所以零既不是正数，也不是负数。而是正数、负数的分界，是唯一的一个真正的中性数。过去，零表示“没有”，在学习了具有相反意义的量以后，我们知道它还有丰富的实践意义。如0℃，不是表示没有温度，而是表示冰点这样一个固定的温度。
虽然生活中存在大量具有相反意义的量，但不是所有的量都能找到具有相反意义的量。如“马路宽2米”就不具有相反意义的量。
要注意小学时“+”、“－”号只是加、减运算符号。有了正、负数后，“+”、“－”号也是数的性质符号。
我们把小学学过的正整数和正分数统称正有理数。在正整数前面放上负号，便得到负整数，在正分数前面加上负号，便得到负分数。负整数和负分数统称负有理数。正有理数、零和负有理数统称为有理数。其中，正数和0也叫做非负数。
正整数（自然数）
正有理数 正分数
有理数 零
负有理数 负整数
负分数
有理数还可以做如下的分类：
正整数（自然数）
整数 零
有理数 负整数
分数 正分数
负分数
即“整数和分数统称有理数”。要注意，有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，这时分数包括整数。本章中的分数是指不包括整数的分数。
还要注意小数和分数的关系：分数都可以化成小数（有限小数或无限循环小数）；小数中的有限小数和无限循环小数可以化成分数，都是有理数。无限不循环小数化不成分数，不是有理数，如π等。
2.数轴
在生活中，我们常常遇到标有数码的量器，如刻度尺、温度计、称杆等。把数标在这样的一条直的物品上，会给我们的研究带来很大的方便。
为了在一条直线上标记有理数，先确定正、负数的分界点 零的位置，叫做原点。然后规定出正方向和单位。这样就得到了一条能标记有理数的直线。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如
－2 －1 0 1 2 （A） 1 0 －1 （B）
1
0 （C）
－1
都是数轴。但习惯上，一般画图形（A），画一条水平放置的直线，规定从左到右的方向为正方向。（从原点向右为正方向，从原点向左为负方向）即原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数，原点表示零。一定要记住原点、正方向和单位长度是数轴的三个要素，三者缺一不可。
数轴的引进把数与图形上的点联系起来，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，这是数与形的结合，数形结合是学习数学的一个重要方法。
3.相反数
象2和－2在数轴上到原点的距离相等。只有符号不同，我们称作这两个数互为相反数。
只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。
通过对相反数在数轴上的位置的观察，我们发现每一组相反数都分别在原点的两边，到原点的距离相等，只有符号不同。从而得到相反数的几何意义：
在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数叫做互为相反数。0的相反数是零。
一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或0。例如当a=+7时，－a=－7，因为7的相反数是－7。当a=－5时，－a=－（－5）=5，因为－5的相反数是5。当a=0时，－a=－0=0，因为0的相反数是0。
4.绝对值
从数轴上看（即绝对值的几何意义），一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
由上面绝对值的几何意义很容易知道，|2|=2，|－2|=2，|0|=0。用文字语言叙述就是：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
我们把上述关系用式子表示，即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
－a (a<0 ) －a (a<0 ) －a (a≤0 )
从上面不同的三个角度来研究绝对值，我们发现有理数的绝对值不能是负数，只能是正数或0，即绝对值是一个非负数。
5.有理数大小的比较
由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。”
根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
对于两个正数的大小，小学时我们已经知道。关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定，但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便。如|－3|=3，|－2|=2，因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2，即“两个负数，绝对值大的反而小”。
【解题点要】
例(1) 如果水库的水位上升5cm，记作+5cm，那么水位下降3cm，记作什么？上升 －2cm表示什么？
分析：因为水位上升和下降是具有相反意义的量，已知上升5cm记作+5cm，那么水位下降3cm应记作－3cm。上升－2cm表示水位下降2cm。
解：水位下降了3cm记作－3cm。上升－2cm表示水位下降2cm。
例(2) 判断正误（正确的用“√”在括号内表示，不正确的用“×”在括号内表示）
1. 向前走10m与向右走10m是相反意义的量。
2.支出8元与收入100元是相反意义的量。
3.向东走15km与向西走1km是相反意义的量。
4.提高某种物品的售价25元与下降20m是相反意义的量。
分析：第1题中向前走10m与向右走10m虽然是同一种量，但向前与向右不能算是具有相反意义的量。第2、3两题中支出与收入，向东和向西都是具有相反意义的量，并且是同一种量。第4题中提高与下降虽然意义相反，但不是同一种量，它们不能算是具有相反意义的量。
解：1.×； 2.√； 3.√； 4.×
提问：相反意义的量具备什么特征？
相反意义的量必须具备两个特征：①意义相反；②是同一种量
例(3)用正数和负数来表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点。
1.高于海平面400米与低于海平面256米。
2.北纬44度与南纬33度。
分析：一般情况下我们用正数表示高于海平面的高度，用负数表示低于海平面的高度。虽然我们也可以把低于海平面的高度用正数来表示。
解：1.用正数来表示高于海平面的高度，那么高于海平面400米就表示为+400米或400米，而低于海平面256米就表示为－256米。海平面是它们的分界点，用0米表示。
2.用正数表示北纬的度数，那么北纬44度就表示为+44度或44度，南纬33度表示为－33度。赤道是它们的分界点，用0度纬线来表示。
例(4) 把下列各数填到相应的大括号内：+6，0.003，1， ，43，0，（2.3，－2，－5.01，－25， ，－0.21
正整数集合： …
负整数集合： …
正分数集合： …
负分数集合： …
正数集合： …
整数集合： …
分析：0.003和12.3是有限小数，都可以化成分数，应填到正分数集合。－0.21是无限循环小数也可以化成分数，应属于负分数集合。0是整数，因为整数是正整数、0、负整数的统称。在考虑整数集合时，不要忽略掉“0”。另外要明确0既不是正数也不是负数。
解：正整数集合：+6，1，43， …
负整数集合：－2，－25， …
正分数集合：0.003， …
负分数集合：－ ，－5.01，－0.21，…
正数集合： +6，0.003，1， ，43，12.3， ，…
整数集合： +6，1，43，0，－2，－25，…
提问：－（－3）是负数吗？为什么？
－（－3）是正数。因为－3表示负数，它的前面再加上一个“－”号，表示与－3意义相反的量，而负数与正数具有相反意义的量，所以－（－3）表示正数3。
例(5) 请你画一条数轴，并用A、B、C、D各点分别表示2、－1、 、－1 各数。
分析：画数轴一定要有原点、正方向和单位长度这三个要素。在数轴上表示的数要用实心点（黑的圆点）标出，然后再注上字母。
解： D B A C
－3 －2 －1 0 1 2 3
提问：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点表示的都是有理数吗？
不是。因为数轴上的点除了表示有理数的点之外，还有表示无理数的点，这到初中二年级才会学到。
例(6) 选择正确的答案（各题的四个答案中只有一个是正确的）
1.在有理数中，绝对值等于其本身的数有（ ）
(A)正数 (B)0 (C)非负数 (D)负数
2.－a不是负数，那么a一定是（ ）
(A)负数 (B)正数或0 (C)正数 (D)负数或0
3.下列各对数中相等的数是（ ）
(A) －(+7.5)和－(－7.5)
(B)+
(C)－（1.2）和+（+1.2）
(D)－（－100）和－100
4.下列式子中，正确的是（ ）
(A)－31.123>－31.12
(B) >－0.33
(C)
(D)
分析：1.由于正数和0的绝对值都是它本身，而正数和0统称非负数，所以选（C）。
2.因为－a不是负数，－a≥0，即－a是正数或0，则a是负数或0。
3.因为－(－1.2）=1.2，+(+1.2)=1.2，所以－(－1.2）=+(+1.2)
4.因为－ ，|－ |=|－ |= ，－0.33=－ ，
|－ |= ，
解：1.C； 2.D； 3.C； 4.B
例(7) 如图所示， b 0 a a和b是两个有理数，求|a+b|+|a|的值。
分析：由图可知，a>0，b<0且|b|>|a|，所以a+b<0，|a+b|=－(a+b)=－a－b，|a|=a，所以|a+b|+|a|=－(a+b)+a=－b
解：|a+b|+|a|=－(a+b)+a=－a－b+a=－b
【课余思考】
1. 0是偶数吗？－12是自然数吗？
2.0是自然数吗？是正数吗？是负数吗？是整数吗？是有理数吗？
3.自然数一定是正数吗？一定是整数吗？
4.整数一定是正数吗？一定是自然数吗？一定是有理数吗？
5.正整数中有没有最小的数？有没有最大的数？
6.数轴上是否有两个不同的点表示同一个有理数？是否有一个点表示两个不同的有理数？
7.数轴上无论怎样靠近的两个有理点之间还存在表示有理数的点吗？
8.π是一个有理数吗？为什么？
9.x的相反数是5，那么x是多少？－8的相反数是y，那么y是多少？相反数是它本身的数有几个，它们是多少？
10.什么数的绝对值和它的相反数相等？
11.什么数的绝对值比它本身大？
12.什么数的绝对值比它本身小？
13.什么数的相反数比它本身大？
14.什么数的相反数比它本身小？
15.什么数的绝对值比它的相反数大？
【同步练习】
1.用正数和负数来表示下面各组中具有相反意义的量。
(1)入库3吨与出库5吨。
(2)盈余50万元与亏损300万元。
(3)向东走10km和向西走1km。
(4)收入1000元与支出1000元。
(5)减产12吨水泥与增产21吨水泥。
2.回答问题
(1)正数中有没有最小的数？有没有最大的数？负数中呢？有理数中呢？
(2)有没有这样的有理数，它既是正数又是负数？
(3)有没有这样的有理数，它既不是正数又不是负数？
(4)水位上升5cm，后又上升－3cm，水位共升高多少cm？
(5)0是最小的有理数吗？
3.判断正误：
(1)分数是有理数。 （ ）
(2)大于负数的数是正数。 （ ）
(3)有理数中不是正数就是负数。 （ ）
(4)既没有最小的整数？也没有最大的整数。 （ ）
(5)数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数。（ ）
4.填空
(1)“足球比赛 12场与负5场”是具有相反意义的最。
(2)如果规定向北走为正，那么+10与－15m的含义是 和 ，一共走了
m。
(3)若一港口在海拔5m，而港口的水域底部是海拔－50m，则它们之间相差 m。
(4)在下面有理数：－21，－3.11， ，+2，－1 ，0，3.3，－0.732，1中
正数有 ；
负数有 ；
整数有 ；
非负整数有 。
(5)在数轴上距离原点6个单位长度的数是 。
(6)用不等号把 连接起来是 。
(7)如果在数轴上表示－2的点是A，那么这数轴上到A的距离是3的点所表示的数是
。
(8)
－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 如图，数轴上A点表示 ；它到原点的距离是 ；数轴上到原点距离与点A到原点距离相同的点是 。
(9)任何一个 的相反数是正数，任何一个 的相反数是负数。
(10)+2的相反数是 ； 的相反数是－ ；一个数的相反数的相反数是
。
(11)任何一个有理数的绝对值都不是 。
(12)一个数的绝对值和相反数是它本身，这个数是 。
(13)绝对值是 的数有 个，是 。
(14)绝对值小于3.2的整数有 。
(15)－2 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 。
(16)使|x－2|=5成立的x的值是 。
(17)设a、b为有理数，且|a+3|+(b－1)2=0，则a+b= 。
(18)所有绝对值小于5的自然数的积等于 。
(19)比较大小：－|－1.7| －(－1.7)； －|－2 | －2.8。
(20)若a、b互为相反数，m、n互为倒数，且a、b不为0，则5(a+b)－
。
【单元点评】
1.【单元测试题】
(一)填空
1.有理数包括 和 。
2.既不是正数又不是负数的数是 。
3.改写下列各句，使它不含负数：潮水退了－0.3m是 ；汽车向东行驶－20km是 。
4.化简－（－27）= ；－（+ ）= 。
5.若甲数减去乙数所得的差是负值，则在数轴上表示甲数的点在表示乙数的点的 边。
6.|－8|是数轴上表示－8的点与 点的距离。
7.两个互为相反数的绝对值 。
8.最小的正整数是 ；最大的负整数是 。
9.请写出所有大于－4的负整数 。
10.若ab=1，则这两个数的关系是 。
11.如果t<0，那么－|t|= 。
12.用“>”、“=”、“<”号填空：－100 0.001；－2 －2。
13.将－6、2、0、－9、－3、－ ，从小到大用“<”连接起来
。
14.计算|+2|+|－98|－|66|= 。
15.若a的倒数为－5，则a的相反数是 。
(二)在所给的数轴上，画出下列各点2、－4－1.5、5 、0。
－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 6
(三)选择题（各题的四个答案中，只有一个是正确的）
1.若m、n互为相反数，且m≠0，那么一定成立的是（ ）
(A) >0 (B) =1 (C) =－1 (D) =0
2.如果|a|=－a，那么a一定是（ ）
(A)负数 (B)非正数 (C)正数或负数 (D)任何有理数
(四)比较下列各组数的大小。
1.－ 和－ 2.－0.65和－
2.点评：
(四)题的第1小题两个负分数比大小，分母不同要先化成同分母，过程如下：
解：∵|－ |= = ， |－ |= =
∴－ >－ 。
(四)题的第2小题一个负分数和一个负小数，要化成同分母的两个负分数来进行比较。
【答案】
【课余思考】
1.是；不是。
2.不是；不是；不是；是；是。
3.是；是。
4.不一定；不一定；一定。
5.有；没有。
6.没有；没有。
7.存在。
8.不是。π是一个无限不循环小数，化不成分数，而整数和分数统称有理数。
9.x=－5；y=8；有一个，是0。
10.负数和0。
11.负数。 12.没有。 13.负数。 14.正数。 15.正数。
【同步练习】
1.(1)入库3吨记作+3吨，出库50吨记作－50吨。
(2)盈余50万元记作+50万元，亏损300万元记作－300万元。
(3)向东走10km记作+10km，向西走1km记作－1km。
(4)收入1000元记作+1000元，支出1000元记作－1000元。
(5)减产12吨水泥记作－12吨，增产21吨记作+21吨。
2.(1)没有；没有；没有；没有。(2)没有。(3)有。(4)2cm。(5)不是。
3.(1)√； (2)×； (3)×； (4)√； (5)√。
4.(1)胜； (2)向北走10m；向南走15m；25m。 (3)55m。
(4) ，+2，3.3，1；负数有－21，－3.11，－1 ，－0.732；整数有－21，+2，0，1；非负整数有+2，0，1。 (5)6和－6
(6)－ <－ <－ 。 (7)－5和1。 (8)3；3个单位；－3。 (9)负数；正数。 (10)－2； ；它本身。 (11)负数。 (12)0。 (13)两个，± 。 (14)－3、－2、－1、0、1、2、3。 (15)2 ；－ ；2 。 (16)7和－3。 (17)－2。 (18)24 (19)<；<。 (20)2。
【单元测试题】
一、1.整数和分数。 2. 0。 3. 潮水涨了0.3m；汽车向西行驶20km。
4. 27；－ 。 5.t2。 6.原点。 7.相等。 8.1；－1。
9.－3、－2、－1。 10.互为倒数。 11.t。 12.<；<。
13.－9<－6<－3<0< <2。 14.34； 15. 。
二、
－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 6
三、1.C。2.B。
四、1.－ 。 2.－0.65>－ 。
回答者：cicadae2 - 见习魔法师 二级 9-3 19:50
有理数
有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数．
整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．
在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数．这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用．
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示．
有理数集是实数集的子集．相关的内容见数系的扩张．
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a,b,c等都表示任意的有理数）
：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1．
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤．
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a．由此不难推知，不存在最大的有理数．
值得一提的是有理数的名称．“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”．事实上，这似乎是一个翻译上的失
误．有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”．中国在近代翻译西方科学著作，依据日语
中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”．但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）．所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”．与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理．
热心网友
时间：2024-03-31 15:00
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正有理数、负有理数和0。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
热心网友
时间：2024-03-31 15:00
参考资料：袄等距离挖
