用 正弦定理判断三角形解的个数 是什么原理？如图关系式老看不懂，也记不住。而且一旦题目出现了让
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发布时间：2022-04-28 23:22
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时间：2023-09-22 15:52
原理如下：
1、三角形有多个解的情况只会出现在两边及一边的对角的情况，也就是说题目给了你两条边以及其中一条边的对角。
2、中间用余弦定理解释三角形是否有解，有几个解，全在于这个一元二次方程的正数解的个数。
3、这个方程有几个正数解（因为边长是正数，解方程解出来的负数或0不能要），三角形就有几个。
用正弦定理公式解决的方法如下：
正弦定理：sinB=bsinA/a，而B∈(0,π)，所以sinB∈(0,1]。所以三角形有没有解，全在于bsinA/a的范围。
1、若A是锐角：
当a=bsinA时，sinB=bsinA/a=1，所以此时三角形只有一个解，并且B=π/2。
当bsinA>a时，bsinA/a>1，超出了sinB的范围，所以三角形无解。
当bsinA<a时，sinb=bsina a。
2、若A是直角或钝角：
同样看bsinA/a，因为A是直角或钝角，所以一定有a>b，bsinA/a<1。这就回到刚才讨论的bsinA/a<1的情形。
如果题目给了A是钝角的同时，a≤b，所以三角形无解。
扩展资料：
正弦定理的特点：
1、指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
2、一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
热心网友
时间：2023-09-22 15:52
而对於这种情况,请你不要用,听清楚,不要用正弦定理去考虑有没有解.因为你记不住规律.那怎麼办呢?用馀弦定理.
我设题目给了∠A,a,b,满足两边和一边的对角吧?这时候根据馀弦定理,有以下关系式:
a²=b²+c²-2bccosA
因为c是未知数,是你要求的量,我整理一下上面的式子,变成:
c²-2bcosA*c+b²-a²=0
你会发现这就变成了关於c的一元二次方程,所以三角形是否有解,有几个解,全在於这个一元二次方程的正数解的个数对不对?也就是说这个方程有几个正数解(因为边长是正数,你解方程解出来的负数或0不能要),三角形就有几个.你在做题的时候只要掌握到这里,就够了,下面我写的是书上那些结论的推导过程,可看可不看.
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一元二次方程解的个数是你会做的,判别式Δ=4b²cos²A-4(b²-a²)=4(a²-b²sin²A).要判断Δ与0的关系,相当於要判断a²与b²sin²A的关系,也就是判断a与bsinA的关系.
①当a=bsinA时,Δ=0,所以方程只有一个解,和书本一致
②当a>bsinA时,Δ>0,方程有两个解
③当a<bsinA时,Δ<0,方程无解,这也是书上写的.
继续看第②种情形,方程有两个解,这两个解有可能全是正数,也有可能一正一负,那麼会不会两个都是负数呢?不会.为什麼?根据韦达定理,c1+c2=2bcosA,c1c2=b²-a².如果c1,c2都是负数,则有c1+c2<0,c1c2>0,也就是cosA<0,b>a.而cosA<0表示A是钝角,既然A是钝角,根据大角对大边,a应该是最长的边吧?那麼b>a不可能成立,所以c1和c2不会同时为负数.
再看,如果c1,c2都是正数,c1+c2>0,c1c2>0,有A是锐角,b>a,所以就有了书上写的当bsinA<a<b时,有两个解.
如果c1和c2是一正一负,三角形只有一个.既然是一正一负,c1c2<0,而c1+c2可能是正也可能是负,对应A可能是锐角也可能是钝角.但无论A是锐角还是钝角,b<a是肯定的,所以你看书上写的,无论A是锐角还是钝角,当a>b时,一定只有一个解.
最後再来,因为我刚才说的都是a>b或者a<b,没有出现过a=b的情况.那麼当a=b时,b²-a²=0,所以刚才的一元二次方程就变成c²-2bcosA*c=0.显然c=0是方程的一个解(要舍去),另一个解是c=2bcosA,所以如果A是锐角,那麼c=2bcosA>0,三角形有一个解.而如果A是直角或钝角,那麼当a=b时,无解.追答当然，在推导的时候也能用正弦定理来推（仅仅用来推导，不希望你用正弦定理解这类题目）。
正弦定理，sinB=bsinA/a，而B∈(0,π)，所以sinB∈(0,1]，所以三角形有没有解，全在于bsinA/a的范围。
①若A是锐角
当a=bsinA时，sinB=bsinA/a=1，所以此时三角形只有一个解，并且B=π/2。
当bsinA>a时，bsinA/a>1，超出了sinB的范围，所以三角形无解。
当bsinAb，bsinA/a<1。这就回到刚才讨论的bsinA/a<1的情形。
而如果题目给了A是钝角的同时，告诉你说a≤b，那这是不可能的事情，所以三角形无解。
热心网友
时间：2023-09-22 15:53
追问讲详细点吧，我知道画圆弧啊
