两个向量之间的马氏距离怎么求?

发布网友 发布时间：2022-04-28 19:50

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热心网友 时间：2022-06-22 23:58

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。[1] 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母（a、b、c等）来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头（→）表示，如

，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示。

几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

向量表示

箭头所指的方向表示向量的方向。[1] 

坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点

的坐标。向量a称为点P的位置向量。[1] 

向量的坐标表示

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量a。由空间基本定理知，有且只有一组实数(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y,z)，就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

当然，对于*的空间向量，可以通过类推得到，此略。

向量的矩阵表示

设

，

。

向量加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，

向量的加法

。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

OA-OB=BA.即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2).

如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

加减变换律：a+(-b)=a-b

向量数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。 [1] 

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 [1] 

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍

当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

向量数量积

定义：已知两个非零向量a,b，作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。

若a、b不共线，则

；若a、b共线，则

。 [1] 

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

向量向量积

定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

A=(x1,y1,z1)，B=（x2,y2,z2），则

向量的向量积性质：

|a×b|是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

a×(b+c)=a×b+a×c.

(a+b)×c=a×c+b×c.

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量三向量混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，

向量的混合积

所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

向量双重向量积

给定空间的三个向量a,b,c,如果先做其中两个向量a,b的向量积a×b，再做所得向量与第三向量的向量积，那么最后的结果仍然是一个向量，叫做所给三向量的双重向量积，记做：(a×b)×c。

性质：

(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

a×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c

向量关系式

给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：

证明：

由混合积的性质可知

（即把c×d看成一个新的向量e，利用性质(a×b)·e=a·(b×e)）

再根据二重向量积的性质可知

该公式可用于证明三维的柯西不等式

证明：令公式中a=c、b=d，则：

设

，那么：

即

等号成立的条件是

，即a、b共线（

或b=0）

向量两个向量构成的平行四边形的面积公式