幂函数的高阶导数5
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发布时间：2023-10-12 18:34
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热心网友
时间：2024-11-25 07:36
幂函数导数公式：
y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
在这个过程之中：
1、lny 首先是 y 的函数，y 又是 x 的函数，所以，lny 也是 x 的函数。
2、lny 是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicit function。
3、设 u = lny，u 是 y 的显函数，它也是 x 的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。
4、u 对 y 求导是 1/y，这是对 y 求导，不是对 x 求导。
5、u 是 x 的隐函数，u 对 x 求导，用链式求导，chain rule。
6、u 对 x 的求导，是先对 y 求导，然后乘上 y 对 x 的求导，也就是：
/dy = 1/y
/dx = (/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。
扩展资料：
正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
热心网友
时间：2024-11-25 07:37
幂函数高阶导数公式及证明：例：若幂函数y=x⁽ⁿ⁾ ,求其n阶导数y⁽ⁿ⁾
用推导法证明：一阶导数为y'=nxⁿ⁻¹ ,二阶导数为y'=n·(n-1)xⁿ⁻²,三阶导数为n·(n-1)(n-2)x⁽ⁿ⁻³⁾ ……则n阶导数为n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·……·（n-(n-1)）·xⁿ⁻ⁿ =n!
所以幂函数y=xⁿ的高阶导数y⁽ⁿ⁾为n!
热心网友
时间：2024-11-25 07:37
比如x^4
一阶导就是4x^3
二阶导就是一阶导上再求导，4*3*x^2
三阶导就是4*3*2*x
四阶导就是4*3*2*1=4！=24咯
