设A为n×m实矩阵,且r(A)=m<n,求证:

发布网友发布时间：2023-11-03 22:54

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热心网友时间：2024-12-04 17:13

【答案】：∵r(A_n×m)=m，所以齐次线性方程组AX=0只有零解．
则对任意的X=(x₁，…，x_m)≠0，AX≠0．
由于二次型X^TEX是正定的，故(AX)^TE(AX)＞0，即X^T(A^TA)X＞0．
∴X^TA^TAX是正定二次型，对应的矩阵A^TA是正定矩阵．$任取X=(x₁，…，x_n)^T，根据内积的性质，有(A^TA)(A^TX)≥0，即X^T(AA^T)X≥0，所以二次型X^T(AA^T)X是半正定的，对应的矩阵AA^T为半正定的．

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设A为n×m实矩阵,且r(A)=m&lt;n,求证:

设A为n×m实矩阵,且r(A)=m<n,求证: