高等数学重要极限公式
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发布时间：2022-04-21 23:12
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热心网友
时间：2022-05-23 16:41
这样，我就按照条件叙述完的情况给LZ说吧。证明大概是这样。
由于f(x),g(X)极限存在且分别为A,B则α(X)，β(x)为无穷小。因此Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)为无穷小
又f(x)g(X)=[A+α(X)][B+β(x)]=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)
故不管x趋向于神马，lim[f(x)g(x)]=AB。
当然，这种证明是假定楼主知道无穷小的概念，以及无穷小与无穷小或常数的乘积仍然为无穷小这两个定理的。
如果不知道的话，具体的证明应当是这样。（假定为x趋向x0时的极限）假设f(x),g(X)极限存在且分别为A,B
则对任意的ε>0，存在δ1,δ2使得x在x0的δ1空心领域有|f(x)-A|<ε,在x0的δ2空心领域|g(X)-B|<ε
则取δ=max{δ1,δ2}，使得当x在x0的δ空心领域时
有|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)|
由于g(x)极限存在，则由局部有界性，对正数M有|g(x)|<=M则上式有
|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)|<=M|(f(x)-A)|+|A||(g(x)-B)|<(M+|A|)ε
则由于ε的任意性知道，当x趋向x0时lim[f(x)g(x)]=AB
热心网友
时间：2022-05-23 16:41
sinx/x
→1（
x→0
），
与
(1+1/x)^x→e^x（
x→∞）。
另外，关于等价无穷小，有
sinx
~
tanx
~
arctanx
~
arcsinx
~
e^x-1
~
ln(1+x)
~
(a^x-1)/lna
~[(1+x)^a-1]/a
~x（
x→0），
1-cosx
~
x^2/2（
x→0）。
