什么是幂次方程?
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发布时间：2022-05-16 20:23
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时间：2024-03-01 16:28
这样的方程，既不是整式方程，又不是指数方程，更一般地，如果在方程中出现底数和指数中同有未知数的项，这样的方程通常叫做幂指方程(power-exponent equation)。幂指方程的求解甚为复杂，通常讨论如下两种简单情形：限于寻求整数解；底数虽有未知数，但取值恒为正数。
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时间：2024-03-01 16:28
诸如xx=x这样的方程，既不是整式方程，又不是指数方程，更一般地，如果在方程中出现底数和指数中同有未知数的项，这样的方程通常叫做幂指方程(power-exponent equation)。幂指方程的求解甚为复杂，通常讨论如下两种简单情形：限于寻求整数解；底数虽有未知数，但取值恒为正数[1]。
中文名
幂指方程
外文名
power-exponent equation
所属学科
数学
所属问题
初等代数
特点
底数与指数同时有未知数
基本介绍
幂指方程是一种特殊的指数方程，指在方程中出现乘幂且底数与指数中同时含有未知数的方程，例如xx=x(x>0)。幂指方程的求解较为复杂，通常只讨论如下两种简单情形：限于求整数解；作为底数的未知数的函数式恒取正值。例如，解方程
由log3x知x>0，且方程的右边在(0，+∞)上有意义，对方程的两边取以3为底的对数得
令y=log3x，得8=(2+y)y。解之有y1=-4，y2=2，即log3x=-4或log3x=2，所以原方程的解为x1=1/81，x2=9[2]。
指导 关于幂指方程的一般解法(分三步) : ①讨论确定x的允许取值范围；②讨论底数为0，±1时的情况，适合者为根；③在x的允许取值范围内，且在x≠0，±1的条件下，按一般指数方程解之。见下文例1。
举例说明
【例1】解方程:。
解：第一步:确定x的允许取值范围[3]。
由知，如有意义，必须x≥0，
又∵0º无意义，
∴x≠0，因此，x> 0。
第二步:讨论底数。
显然x= 1适合方程。
第三步:在x>0，x≠1的前提下，
由得：
解得:
(不适合，舍去)
原方程的解为:
【例2】解方程:。
解(1) 当x-2<0时，即x<2时，欲使方程两边的幂有意义， x-1，3x只能是整数或分母是奇数的既约分数。(负数底数的幂的指数只能取整数或分母是奇数的既约分数)[3]
(2) 当x-2=0，即x= 2时， 适合方程。
∴x=2是原方程的解，
当x-2=1, 即x=3时，适合方程，
当x-2=-1, 即x= 1时，不适合方程。
∴x= 3也是方程的解。
(3)若x为小于2的整数或x>2时，由比较指数法得:3x=x-1，∴，但不是整数也不是分母为奇数的既约分数，不适合方程，应舍去。
∴原方程的解为:
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时间：2024-03-01 16:29
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时间：2024-03-01 16:30
