2008全国初中数学联赛辽宁赛区试题及答案
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发布时间：2022-05-16 15:51
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时间：2023-08-05 02:32
二、1.- 2 2. 3. 4.1
解答：一、1.由题设条件可知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b，
所以a，b是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1.
因此+====7.
2.因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，
于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=.
在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=.
3.能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=.
4.∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC =(180°-12°)=84°.
又∠BCM = 180°-∠ACB=180°-132°=48°，∴∠BCM=180°-84°-48°=48°.
∴BM=BC.又∠ACN=(180°-∠ACB)=(180°-132°)=24°，
∴∠BNC=180°-∠ABC-∠BCN= 180°-12°-(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC.
∴CN=CB.因此，BM=BC=CN.
5.容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a·(1-10%)k ·(1-20%)n-k=a·()k·()n-k，其中k为自然数，且0≤k ≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a·()i·()n-i，a·()i+1·()n-i-1，a·()i+2·()n-i-2，a·()i+3·()n-i-3，a·()i+4·()n-i-4.
其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4.
6.∵(x-)(y-)=2008，
∴x-==y+，y-==x+.
由以上两式可得x=y， 所以(x-)2=2008.解得x2=2008.
所以3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1.
二、1.∵a2=()2==1-a，∴a2+a=1.
∴原式=
===-=-(1+a+a2)=-(1+1)=-2.
2.设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，
∴MB=MO-OB=.又∠ABM=∠NDA=135°，
∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，
所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=·BA=×1=.根据对称性可知，
四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=.
3.根据题意，m，n是一元二次方程x2+ax+b=0的两根，所以m+n=-a，mn=b.
∵|m|+|n|≤1，∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.
∵方程x2+ax+b=0的判别式△=a2-4b≥0，∴b≤=≤.
4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≥1-(m-n)2≥-1，故b≥-，等号当m=-n=时取得；
4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≤1-(m-n)2≤1，故b≤，等号当m=n=时取得.所以p=，q=-，于是|p|+|q|=.
4.12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008-(3+12+66+272+1085)=570个数位.3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1.
