数理逻辑史的两个不完全性定理
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发布时间：2022-05-16 17:47
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时间：2023-11-09 10:54
1930年夏，哥德尔着手考虑数学分析的一致性。与希尔伯特不同，他想分为两个步骤进行，先用有穷方法证明数论一致，然后再用数论来论证分析的一致性。在数论方面他很快得到决定性结果，于1931年发表《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》一文，此文包括两个著名定理。按照第一不完全性定理，一个包括初等数论和一阶逻辑的形式系统S，如果一致，那么就是不完全的。在证明里,他使用了有穷观点的逻辑和原始递归算术,并通过配数法，在S中表示关于 S的语法命题。哥德尔还利用对角线法构造了一个断定其自身在S中不可证的命题 A，并且说明，A和├A在S中皆不可证。由于A和├A二者必有一真，真而不可证，因之S不完全。在证明第二个不完全性定理时,哥德尔的基本论证是,由于“系统S一致”可在S中表示,记为Con(S)，同时 A即表示“A在S中不可证”，因之第一不完全性定理可在 S中表示为
├Con(S)→A从以上公式可见,如Con(S)可证, 那么就有├A；这显然与第一不完全性定理相矛盾，不能成立。因此，第二不完全性定理断定：如果一个包括古典数论的形式系统是一致的，则其一致性不能在此系统中得到证明，同时当然也不能用有穷方法证明。这一重要的发现给希尔伯特方案以很大的冲击。
