求函数f(x)的解析式
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发布时间：2022-05-16 03:27
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时间：2023-10-09 23:54
已知：函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，求函数f(x)的解析式。
【说明：^表幂运算符号，即^2表示2次方（或次幂）；^3表示3次方（或次幂），依次类推^()，表示()中的数值次方（或次幂），依此类推】
解：
∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2
∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的导数函数f"(x)为：
f"(x)=3ax²+2bx+c，
设f"(x)=0时，根的判别式为△，即：△=4b²-12ac
∵ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3；
∴ 函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，其它区间函数f(x)不存在递减，
这样：根据函数，及其函数导数的极值点和极值情况，大致分析如下：
(-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f"(x) 必须+ f"(-1) - f"(3) 必须+
f(x) 必须↑ 有极大值 ↓ 有极小值 必须↑
根据上述表述，可知道：
函数f(x)=ax^3+bx²+cx+2的单调递增区间是(-1，3)，且函数f(x)有极大值11/3，那么：
1）函数f(x)的导数f"(x)=3ax²+2bx+c在(-1，3)必须小于0；
2）函数f(x)在(-∞，-1)、(3，+∞)必须是递增函数，即：不存在递减情况；
3）函数f(x)的极大值点在f(-1)=11/3，那么导数f"(x)=0时，两个根为：-1、3；
【函数极值的必要条件为】
若函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0) 为极值（即：x0 为值点），则f"(x0)=0;
∴ 根据上述已知条件，可知道如下不等式组、等式关系组如下：
1) 不等式组
f"(-1)<0 或： f"(-1)<0
f"(3)<0 f"(3)<0
△=4b²-12ac>0 △=4b²-12ac， △∈R 【f"(x)=0时的△】
f(3)< f(-1) f(3)< f(-1)
a>0 a<0
2) 等式关系组（上下对应的，也就是与不等式组对应的）
f(-1)=11/3 f(-1)=11/3
f"(-1)=0 f"(-1)=0
f"(3)=0 f"(3)=0
【补充说明】：f"(-1)=0 ，f"(3)=0，也可以用韦达定理：
-1+3=-2b/3a -1+3=-2b/3a 【f"(x)=0，根据韦达定理】
-1×3=c/3a -1×3=c/3a 【f"(x)=0，根据韦达定理】
因此，可得到方程式组：
f(-1)=-a+b-c+2=11/3
-1+3=-2b/3a
-1×3=c/3a
解方程组得到：
a=1/3，b=-1，c=-3，代入不等式组验证结果为：验证合格
综上所述：
函数f(x)的解析式为： 函数f(x)=(1/3)x^3-x²-3x+2
__________________________________________________________________________
【补充说明】
如果原命题为：函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，那么情况就有变了，具体如下：
函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，这样：根据函数，及其函数导数的极值点和极值情况，大致分析如下：
(-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f"(x) 必须+ ，也可能- f"(-1) - f"(3) 可能+，也可能-
f(x) 必须↑，也可能↓ 可能为极大值 ↓ 可能为极小值 可能↑，也可能↓
根据上述表述，可知道：
函数f(x)在(-1，3)区间上单调递增，且函数f(x)有极大值11/3，那么：
1）函数f(x)的导数f"(x)=3ax²+2bx+c在(-1，3)必须小于0；
2）函数f(x)的极大值点可能是：f(-1)=11/3，也可能不是
3）函数f(x)的极大值点在函数导数f"(x)=0时的两根对应的点，那么，导数f"(x)=0
时的两根：有可能是：-1和3，或者是其中的一个，或者都不是
4）区间(-1，3)的相邻的区间，函数f(x)也肯能存在递减；
【函数极值的必要条件为】
若函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0) 为极值（即：x0 为值点），则f"(x0)=0;
∴ 根据上述已知条件，可知道如下关系式组：
f"(-1)<0 或： f"(-1)<0
f"(3)<0 f"(3)<0
△=4b²-12ac>0 △=4b²-12ac ∈R
f(3)< f(-1) f(3)< f(-1)
a>0 a<0
f(-1)=11/3 f(-1)=11/3
f"(-1)=0 f"(-1)=0
综合分析上述关系式，无法求出a、b、c的值，这样，就无法求出f(x)的解析式。
热心网友
时间：2023-10-09 23:54
则f'(x)=3ax^2+2bx+c有两个零点x=-1、x=3,且x=-1为极大值点，x=3为极小值点
代入得3a-2b+c=0
27a+6b+c=0
f函数(x)有极大值11/3，将x=-1，y=11/3代入
-a+b-c+2=11/3
联立这三个方程，解得a=1/3,b=-1,c=-3
f(x)的解析式为f(x)=1/3*x^3-x^2-3x+2
热心网友
时间：2023-10-09 23:55
27a+6b+c=0，，-a+b-c+2=11/3 ，联立这三个方程，解得a=1/3,b=-1,c=-3。
所以f(x)的解析式为f(x)=1/3*x^3-x^2-3x+2
热心网友
时间：2023-10-09 23:55
(y-b)(x+a)=c-ab
当x=0时，y=0，c=0
(y-b)(x+a)=c-ab的浙近线为x=-a，y=b
a=1
又关于直线x+y=0对称，所以两渐近线也关于x+y=0对称，b=1
f(x)=x/(x+1)
