证明题:证明根号2是无理数

发布网友发布时间：2022-05-13 12:04

共3个回答

热心网友时间：2023-10-09 11:11

假设根号2是有理数，则根号2可以表示为一个分数，因为任何一个有理数都可以表示为分数形式，不妨设根号2=A/B，其中A、B都是正整数，且为最简，即不能再约分（即A、B只能一个为奇数，一个为偶数），很显然，B≠1；
则两边分别平方，可得2=A??/B??
即A??可被B??整除，分两种情况考虑
1、A为奇数、B为偶数，此时A??仍为奇数、B??仍为偶数，这时A??显然不能被B??整除，即这种情况不满足题意；
2、A为偶数、B为奇数，此时A能被2整除，则A??能被4整除，则A??/2仍为偶数，而根据假设A??/2=B??，此时B??应为奇数；但该情况时B为奇数，B??则也为奇数，即不满足题意。
综合考虑，由假设得出的结论均存在矛盾，则证明假设错误，原命题正确。
即根号2为无理数是正确的。

热心网友时间：2023-10-09 11:12

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数

热心网友时间：2023-10-09 11:12

用反证法哇：设：√2是有理数，将√2表示成两个整数a、b的比（a与b互质）a/b,则有√2＝a/b将两边平方：2=a??/b??两边同时乘b??，得：2b??=a??即a??为偶数，a也是偶数，设a=2m，a??=4m??原方程为：2b??=4m??化简：b??=2m??即b??是偶数，b也为偶数而a是偶数（已证）违背了a与b互质的假设∴√2是偶数的假设不成立即√2是无理数