为什么根号2是无理数

发布网友发布时间：2022-05-13 12:04

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热心网友时间：2023-10-09 11:11

设根号2是有理数。

根号2=M/N MN为互质整数。

则：2=M方/N方。

M方=2M方即M方是偶数,M为偶数。

M为偶数,则M方为4的倍数。

则N方为偶数,N为偶数。

则MN不互质。

与假设矛盾。

所以:根号2是无理数。

这种方法叫反证法,

1,假设相反的情况成立。

2,根据假设得出于假设矛盾的结论。

3,从而证明假设错误,原命题正确。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

扩展资料：

如果正整数N不是完全平方数，那么不是有理数（是无理数）。

证明：若假设是有理数，不妨设，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。

设的整数部分为a，则有不等式成立。两边乘以q，得

因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。

再在上述不等式的两边乘以，得

即：

显然，qN-ap也是一个正整数。

热心网友时间：2023-10-09 11:12

设根号2是有理数。

根号2=M/N MN为互质整数。

则：2=M方/N方。

M方=2M方即M方是偶数,M为偶数。

M为偶数,则M方为4的倍数。

则N方为偶数,N为偶数。

则MN不互质。

与假设矛盾。

所以:根号2是无理数。

这种方法叫反证法,

1,假设相反的情况成立。

2,根据假设得出于假设矛盾的结论。

3,从而证明假设错误,原命题正确。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

扩展资料：

如果正整数N不是完全平方数，那么不是有理数（是无理数）。

证明：若假设是有理数，不妨设，其中p与q都是正整数（不一定互质。若假定p、q互质则证法稍有变动）。

设的整数部分为a，则有不等式成立。两边乘以q，得

因p、q、a都是整数，p-aq也是一个正整数。

再在上述不等式的两边乘以，得

即：

显然，qN-ap也是一个正整数。

热心网友时间：2023-10-09 11:12

1.使用反证法可以证明
若根2为有理数,可设根2=p/q满足p,q为非0整数且互质.
推出2*q^2=p^2
推出p^2是偶数
推出2*q^2被四整除
推出q^2是偶数
推出q,p是偶数
推出p,q不互质,矛盾
所以根2不是有理数

2.如果根号2是一个分数，那么根号2可以表示为m/n(m、n是正整数，且没有大于1的公约数），即根号2=m/n.
根据平方根的意义，（m/n)的平方等于2，即m平方/n平方等于2，
2*n的平方=m平方。
由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而m也是偶数。
设m=2p（p是正整数），
把m=2p代入2*n的平方=m平方，得
2*n的平方=4*p的平方，即n平方=2*p的平方。
因此，n也是偶数。
于是，m、n都是偶数，所以m、n都是2的倍数，这与m、n没有大于1的公约数相矛盾。
因此，根号2=m/n是不可能的，也就是说根号2不是分数，所以不是有理数。

热心网友时间：2023-10-09 11:13

可以用反正法：
假设√2不是无理数，那它是有理数，
所以它可以表示成√2=p/q，其中p和q互质的正整数，
所以2=p^2/q^2，所以p^2=2*q^2，
所以2能整除p^2，所以p^2是偶数，所以p是偶数，设p=2r，r是整数
所以p^2=4*r^2=2*q^2，所以2*r^2=q^2，
所以2能整除q^2，所以q^2是偶数，所以q是偶数，
p、q都是偶数，与p和q互质矛盾，
所以假设错误，所以√2是无理数。

热心网友时间：2023-10-09 11:13