N个数的算术平均数大于等于几何平均数怎么证明?

发布网友发布时间：2022-05-13 10:17

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热心网友时间：2023-10-08 13:24

证明过程如下：

设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。

f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。

f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0

所以e^(x-1) ≥ x

设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。

x/a ≤ e^(x/a-1)

(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)

=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)

=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]

=e^[na/a-n]=e^0=1

所以

(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )

=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1

即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n

(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ,即算术平均数大于等于几何平均数。

扩展资料：

算数平均数特点

1、算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点。

2、算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果。

几何平均数特点

1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。

2、如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。

3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。

4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

热心网友时间：2023-10-08 13:24

证明：设f（x）=lnx，则f'（x）=1/x,f''(x)=-1/x^2<0
故f（x）=lnx为上凸单调增函数.
则ln((x1+x2+x3...+xn)/n)>=(ln(x1)+ln(x2)+ln(x3)+...+ln(xn))/n=ln(n次根号下x1x2x3...xn)
因此((x1+x2+x3...+xn)/n>=n次根号下x1x2x3...xn

热心网友时间：2023-10-08 13:25

因为（√x-√y)²≥0，所以x+y≥2√x√y,(x+y)/2≥√x√y