怎么样证明调和平均数恒小于或等于算术平均数?
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发布时间：2022-05-13 10:17
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时间：2023-10-08 13:25
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an
当n＝2时，易证；
假设当n＝k时，命题成立，即((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak
那么，当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者
则k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak
设s＝a1＋a2＋…＋ak
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1)
用引理得：(s／k)^k* a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)
