空间域重磁异常数据处理的基本原理
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发布时间：2022-05-12 19:49
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时间：2023-10-20 06:03
1.调和函数的积分表达式
如前所述，重磁异常是位函数，具有调和函数的性质，可以用调和函数的积分表达式来描述。
设函数U在域D中任意点都存在连续的一阶、二阶导数，且满足拉普拉斯方程，则称U在D域中调和。地质（目标）体外部的重磁位和重磁场就是这种调和函数，U满足下式：
勘探重力学与地磁学
在图10-4中设
，M点为包围D域的曲面S上的动点，P为D域内的任意点。为定义在D域内的调和函数，可以是位函数。Δ为拉普拉斯算子，
。显然当M与P重合时，
不连续；因此V在除M点外的域中调和。当r→0时，由式
可知有：
，将此式代入（10-11）式，并应用ΔU＝0，则有
勘探重力学与地磁学
将上式代回（10-11）式有
勘探重力学与地磁学
式中微分是沿M点外法线方向进行的，若用v表示M点的内法线方向，即指向U为调和的域，故用-v代替上式中的n，从而得到调和函数的基本积分表达式为
勘探重力学与地磁学
（10-12）式表明，如果已知D域的边界S上的所有M点的调和函数值UM及其法向导数值，则此式就能确定该域内任意点P的UP值。
若用D域以外的点P′代替域内的点P（图10-4)。由于P在域外，
在D域内调和，则同时具有ΔU＝0，ΔV＝0，所以有
图10-4 点P在D域外的情况
勘探重力学与地磁学
综合上述两式，可写成
勘探重力学与地磁学
地面重力场和磁场的测量工作都是在地表进行的，调和域是地面以上的空间，而且这种调和域是开阔的。若测区有足够大的范围，且观测面上已有实测的重磁异常及其法向导数，即可利用（10-12）式求出观测面上半空间中的重磁异常。但是，在野外实测时，一般情况是仅有重磁异常，而无法向导数，故（10-12）式不能直接应用。
2.观测面为平面的情况
设观测面为平面Π，且为直角坐标系的xoy平面；令z轴垂直向上，位的法向导数
是U对z的偏导数
（此时法线方向即z轴的方向），（10-12）式，（10-13）式可写成
勘探重力学与地磁学
勘探重力学与地磁学
在观测面是平面的情况下，r′＝P′M是在平面以下。令P′为P的镜像（图10-5）。
对比（10-14）式与（10-15）式两式中的积分，UM和
都是在水平面上给出，故在两式中相同。而r′和r相等，但
与
的偏导数符号相反
，考虑到这些关系，将（10-15）式改写为
图10-5 P及P′镜像点示意图
勘探重力学与地磁学
取（10-14）式与（10-16）式之差，可得
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取（10-14）式与（10-16）式之和，可得
勘探重力学与地磁学
由（10-17）式可知，若重磁异常源在z＝0的平面以下，则在z＜0的上半空间中的重磁异常UP（x，y，z）都是调和函数。如果已知在平面上每一点的调和函数值，就可确定平面以上任意点的调和函数值。这类问题通常称为狄利克莱问题。
如（10-18）式所描述的，如果已知平面上每一点的调和函数垂向导数值，就可确定平面以上任意点的调和函数值。这类问题通常称为诺伊曼问题。
位场空间域的转换大部分问题的讨论是建立在上述两类边值问题的基础上。
3.重磁位场的泊松公式
任何一个三度磁性体都可以看作许多体积很小的磁体元所组成。每一个磁体元相当于一对磁量相等，符号相反，相距极近的磁偶极子。观测点为P，偶极子中心位于坐标原点0，磁矩为±dm，极距为dl，其方向余弦为（α，β，γ）。设其磁位为dU，根据（6-7）式，有
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而
式中
所以有
，dm＝dm·dl。由场论已知，磁体元磁矩dm＝Mdv，又因
。因此，上式变为
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把磁性体所包含的所有磁体元的磁位积分求和，就得到整个磁性体磁位U的积分表达式：
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式中：MQ代表磁性体内Q点的磁化强度矢量。故上式为M数值和方向均可变化的积分表达式。
一个均匀磁化且密度均匀的物体，其磁位和引力位的解析式间存在一定的关系式。由（10-21）式，一个均匀磁化物体的磁位为
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同一个体积为v，密度均匀的物体之引力位为
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式中：G为引力常数；ρ为密度差。
将（10-23）式代入（10-22）式，可得
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上式即为磁位与引力位间的泊松公式。该式表明，同一个既均匀磁化又密度均匀物体的磁位，可由其引力位来计算。
若已知物体的引力位，利用泊松公式可求得计算磁场各分量的表达式，根据位场关系有
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对二度体（即沿走向为无限长的物体），因引力位与坐标变换y无关，故有
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（10-25）式和（10-26）式是利用给定磁性体的引力位导出磁性体磁场表达式的基本公式。
