如何推理海伦--秦九韶公式?
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发布时间：2022-05-12 15:04
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时间：2023-10-11 06:46
一、
海*式的变形
S=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海*式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC
=
aha入手，运用勾股定理推导出海*式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
S△ABC
=
aha=
a×
=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
S△ABC
=
aha
=
a
×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
+
+
=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
S△ABC
右边为海*式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴S△ABC
=
r·p
=
故得证。
三、
海*式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海*式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海*式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA
=
e
EB
=
f
∵∠1+∠2
=180○
∠2+∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△EAB～△ECD
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于S四边形ABCD
=
S△EAB
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD
=
所以，海*式的推广得证。
