柯西不等式一般式

发布网友发布时间：2022-05-12 10:34

我来回答

共2个回答

热心网友时间：2023-10-05 06:28

柯西不等式一般式为：

等号成立条件为：

一般形式推广形式为：

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m×n矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

其二维形式为：

等号成立条件：

热心网友时间：2023-10-05 06:29

一般形式
　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
证明：
　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。