方程:x^2=2^x
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发布时间：2022-05-14 10:53
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热心网友
时间：2023-10-14 16:11
即为求f(x)=0的解。
f'(x)=2x-xln2=(2-ln2)x
显然当x≤0时，f'(x)≤0，f(x)单减；
当x>0时，f'(x)>0，f(x)单增。
因f(0)=-1<0，f(3)=3^2-2^3=1>0，故仅在区间(0,3)上有唯一解。
而f(2)=2^2-2^2=0，故
x=2为唯一解。追问呵呵，你还说x=2是唯一一解，你试试x=4
况且我要的是负解，这方程有3根
我不是小学生！
你还不会求幂函数的导数，你求导就求错了
追答解：x^2=2^x
首先x=0不是方程的解。
两边取自然对数得
2ln|x|=xln2
设f(x)=2ln|x|-xln2
则
f'(x)=2/x-ln2=(2-xln2)/x
显然：
①当x0，f(x)单增；
③当x≥2/ln2时，f'(x)≤0，f(x)单减。
①：x-∞
f(-1)=ln2>0
故x∈(-1，0)上有唯一解，也即(-∞，0)上的唯一解。
在此区间上的实数解没有具体的解析表示，因为是超越方程，只有数值解。可用牛顿切线法或二分法或迭代法求出。x≈-0.766664696
②0-∞
f(2.5)=ln(2.5^2)-ln(2^2.5)=ln(25/4)-ln(4√2)=ln(25√2/32)>ln1=0
故在区间(0,2.5)上必有唯一解。
因f(2)=2ln|2|-2ln2=0，故该唯一解即为x=2
③x≥2/ln2时，f(x)单减，则至多有一个解
f(3)=2ln3-3ln2=ln(9/8)>ln1=0
f(5)=2ln5-5ln2=ln(25/32)<ln1=0
故在区间(3,5)上必有唯一解。
而f(4)=2ln4-4ln2=ln(16/16)=0
故该唯一解必为x=4
故原方程在实数域内只有三个根：
x1≈-0.766664696
x2=2
x3=4
不明白请追问。
热心网友
时间：2023-10-14 16:12
热心网友
时间：2023-10-14 16:12
x=2
