什么是实值特征函数
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发布时间：2022-05-14 01:47
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时间：2023-08-12 20:28
在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：
其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。
用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。
与矩母函数不同，特征函数总是存在。
如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：
如果随机变量的概率密度函数存在，概率密度函数为，上述积分可以简化为：
其中
是随机变量X的概率密度函数。
如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。
反演定理
在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。
给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F：
。
一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。 [2]
博赫纳-辛钦定理/公理化定义
任意一个函数
是对应于某个概率律
的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：
是连续的；
；
是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与
不等价）。
计算性质
特征函数对于处理
特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且
其中ai是常数，那么Sn的特征函数为：
特别地，
。这是因为：
。
注意我们需要
和
的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。
另外一个特殊情况，是
且
为样本平均值。在这个情况下，用
表示平均值，我们便有：
。
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时间：2023-08-12 20:28
