电法勘探电场的积分表达式
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发布时间：2022-05-15 22:46
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时间：2024-02-28 16:35
8.4.1 泊松积分
大家知道，在各种形式的直流电法勘探中，构成视电阻率异常的畸变电场实际上是由地下电性不均匀界面上的积累电荷形成的。从物理学中早已知道，当电流流过不同电阻率介质的分界面时，在分界面上要产生电荷的积累，这个现象有时也称为麦克斯韦-维纳效应。
现考虑不均匀介质中存在一个稳定电流源的情况，介质中任一点的电场强度有下面关系：
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式中q为体电荷密度，另外再考虑欧姆定律的微分形式（8.2.2）式有
据连续性方程（8.2.4）式
可以写出
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对直流无源区情况，有
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方程（8.4.2）可简化为
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上式说明在介质中电阻率不为常数的地方，存在着电荷的分布；若介质中电阻率为常数时，Δρ为零，电荷密度q也为零。
在电法勘探中，主要考虑电性分区均匀的导电介质，这时，除了电性界面以外，处处Δρ等于零，体电荷密度变为面电荷密度，为简单计，该两种电荷密度本书均用q表示，读者要注意在不同地方具有不同的意义。在电性界面上积累电荷密度的数值和界面两侧介质的电阻率有关，还与界面的几何形状和电源的位置等有关。
图8.2 两种电性介质的分界面
设S0面为两种电性介质的分界面，
为从介质2至介质1、S0面的外法线方向，如图8.2所示（图中只示出S0面的一部分），则有
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这样（8.4.3）式可写为
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式中：
（S0）·
为界面法向电场强度；ρ（S0）代表界面处的介质电阻率。
对于无界空间的情况，连续分布电荷的电位可表示为单位点电荷电位
的叠加，即
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对于电性介质分界面的情况，等效面电荷密度产生的异常电位可写为
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式中：p′为S面上任一点；p为介质中任一点；r为pp′之间的距离。由点电流源产生的一次电位为
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式中：I为供电电流强度；r1为电源到p点的距离。可以参考图8.2。
由此可写出总电位的表达式为
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另一方面，从欧姆定律的微分形式
，有
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上式中利用了（8.2.3）式，整理上式可得：
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上式可以视为泊松方程，其解由泊松积分表示，即任意p点的电位可写为
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式中r表示积分元到观测点p的距离，积分在理论上应遍及整个空间，实际上，Δ·
只在外电流源处不为零，所以上式第一项积分代表点电源在p点产生的电位，r为电源到p点的距离，由于在含有点源区Δ·
≠0，在无源Δ·
=0，所以第一项积分可写为
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这实际上就是（8.4.5）式的第一项。
对于（8.4.7）式第二项积分，实际上
只在电阻率随空间发生变化的地方才不为零。积分只要沿电性介质分界面进行，这时r=p′p，所以第二项积分相当于与不均匀电阻率相等效的面电荷密度所产生的异常电位，即
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与（8.4.5）式比较，界面上积累电荷密度为
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实际上（8.4.8）式与（8.4.3）式两种对电荷密度的表示是统一的。考虑到
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和
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（8.4.8）式可写为
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这就是（8.4.3）式。
从（8.4.5）式可以知道，对于任意复杂的地电情况，只要能够求出电性界面上的电荷密度分布，就可以计算任意点的电位。但由于（8.4.3）和（8.4.8）式中右端均含有未知场值，故不能用这些公式来求解电荷密度分布。如何求解q值并计算电异常的问题，已在本章第二节中叙述。
从以上分析可知，（8.4.5）式是泊松方程的一个通解，要使解唯一确定，还必须考虑边界条件，对实际电法勘探问题，这里需要考虑的边界条件有：
（1）地面外法线方向电位梯度为零，即
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（2）在电性界面上电场不连续，即
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（3）在电性界面上电流密度的法向分量连续，即
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或
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8.4.2 格林函数
（8.4.1）式也可写成泊松方程的形式
Δ2U=-q （8.4.12）
对于单位点电荷，其空间的电位可写为
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其中
是点源到观测点的距离，（x0，y0，z0）≡p0是点源坐标，（x，y，z）=p为观测点坐标。用狄拉克δ函数表示单位点电荷的密度，将（8.4.12）式写成
Δ2U=-δ（p=p0） （8.4.14）
则（8.4.13）式写为
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（8.4.15）式就是（8.4.14）方程的一个特解。
当电荷具有连续的体分布时，它产生的电位满足泊松方程（8.4.12），此时q为电荷的密度，是空间坐标的连续函数。对于连续分布的电荷，可视为无数个点电荷组成。根据叠加原理，总的电位可由这些点电荷各自产生的电位叠加而得到。所以，具有体密度分布的电荷在空间p点的电位为
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积分区域为体电荷分布的区域。直接验证可知，上式为泊松方程（8.4.12）的解。这里见到连续分布电荷产生的电位可用密度函数q乘以点源函数
的积分来表示。这样通过
将泊松方程转化为积分方程，鉴于点源函数
在研究泊松方程解时的重要性，称
为拉普拉斯方程或泊松方程的基本解。
一般地说，对于线性微分方程
-LU=f（L表示线性微分算子） （8.4.17）
称满足方程
LU=-δ（p-p0） （8.4.18）
的解U=G（p，p0）为方程（8.4.17）的基本解。函数G（p，p0）在p≠p0时满足齐次方程
LU=0 （8.4.19）
但在p=p0时，函数是奇异的。
显然，基本解是由一个位于空间某点p0的集中量所产生场的解，故也被称为无限空间的点源函数。由叠加原理，具有连续分布量的微分方程（8.4.17）的解，就应为基本解乘上密度函数f的积分
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对于微分方程边值问题
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式中：D为研究区域；Γ为D的边界，（λ、γ）为（0，1）和（1，0）时，分别对应于第一和第二类边界条件。
根据无限空间求解的思路，可先求解一个集中量在边界条件下的解，即先研究自由项为δ函数的边值问题
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满足该问题的解就是（8.4.21）问题的格林函数，或称基本解。由叠加原理，（8.4.21）问题的解为
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对于均匀半无限空间的点源三维问题的格林函数，由电像法求得为
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式中：=［（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2
，为实源到测点的距离；
=［（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2
，为虚源（以地面为镜面，实源的镜像）到测点的距离。利用（8.4.23）和（8.4.24）式，我们易于求得半无限空间泊松方程（8.4.12）的解，并考虑点电流源在地表的情况，其解为
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当地质体内部ρ2为均匀时，上式体积分变为沿地质体（ρ2）表面的积分，即
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8.4.3 交变电磁场中的积分方程
当用谐变（e-iωt）的电场源
或磁场源
激励大地时，如图8.3所示，并忽略位移电流，麦克斯韦方程（8.3.9）和（8.3.10）式成为
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式中
，
对（8.4.27）式求旋度，并将（8.4.28）式代入可得
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式中
τ2=iωμσ （8.4.29）
图8.3 交变电磁场中的非均匀体
在均匀半无限空间中，若用
表示电场强度且磁场源不存在时，则
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式中
=iωμ1σ1，σ1和μ1为该半空间的导电率和导磁率。
若存在非均匀体时，该体的导电率与导磁率分别为σ2和μ2，设非均匀体和围岩均不导磁，即μ1=μ2=μ0。将（8.4.29）和（8.4.30）两式相减，在不均匀体内部区域
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式中
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令
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（8.4.31）式可化为
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将上式与（8.4.29）式比较，可以认为引起
的场源是（σ2-σ1）
，故设
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则（8.4.32）式变为
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显然，
仅在不均匀体内部存在。
为求解
，将
在不均匀体内的分布视为许多普通的电流元（或电偶极子）的分布。即
产生的电场
相当于这许多小电流元（或电极极子）各自产生的电场的叠加。若已知均匀半空间中单位电流元的电场解为
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式中：
为原点到观测点的矢径；
是原点到场源点的矢径。可见这里
是方程（8.4.33）的半无限空间边值问题的格林函数。由叠加原理，有
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由于电流元在观测点处产生的电场方向和它本身的方向一般说来并不相同。所以
（
，
）具有张量的形式，称为电并矢（或双向）格林函数。
由此可得总电场表达式
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式中为了简化取σ2在不均匀体内为常数，尽管σ2在不均匀体内可以是位置的函数。上式是广义第二类矢量弗雷德荷姆积分方程，其中
可用解析法得出。
