设f(x)=根号下1-x^2+arctanx*f(t)dt从0到1的积分

发布网友发布时间：2022-05-15 22:00

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热心网友时间：2023-09-06 19:04

设原来的暇积分= I,
设x=根号t
则 I=∫(0，1)arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) dt
再令T=1-t
得I=∫(1，0)arctan根号（1-T)/(2(1-T)·根号下(T)) dT
=-∫(0，1)arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)) dt
两式相加
2I=∫(0，1)[arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) -arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)) ]dt
arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) -arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)这个函数关于（1/2,0）中心对称
所以在（0,1）上积分为0
所以2I=0
所以I=0,原式=0
追问
答案为[πIn(1 根号2)]/2
答案有提示，
arctanx/x=∫(0,1)dy/(1 (xy)∧2)

热心网友时间：2023-09-06 19:04

　　设原来的暇积分= I,
　　设x=根号t
　　则 I=∫(0，1)arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) dt
　　再令T=1-t
　　得I=∫(1，0)arctan根号（1-T)/(2(1-T)·根号下(T)) dT
　　=-∫(0，1)arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)) dt
　　两式相加
　　2I=∫(0，1)[arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) -arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)) ]dt
　　arctan根号t/(2t·根号下(1-t)) -arctan根号（1-t)/(2(1-t)·根号下(t)这个函数关于（1/2,0）中心对称
　　所以在（0,1）上积分为0
　　所以2I=0
　　所以I=0,原式=0。